Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(r)
r = |~r|
~
F = − U(r) = −
~r
r
dU
dr
~r
~
K =
~r,
~
F
,
~
M =
~r, ~p
= .
~
M
(r, ϕ)
L =
m
2
˙r
2
+ r
2
˙ϕ
2
− U(r).
ϕ
M =
∂L
∂ ˙ϕ
= mr
2
˙ϕ = .
m
2
˙r
2
+ r
2
˙ϕ
2
+ U(r) = E = .
˙ϕ = M/(mr
2
)
˙r
˙r = ±
r
2
m
E − U(r)
−
M
2
m
2
r
2
.
˙r > 0 ˙r < 0
                  Ÿ3. Äâèæåíèå â ïîëÿõ


  Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â                öåíòðàëüíîì ïîëå          U (r) çàâèñèò òîëüêî
îò ðàññòîÿíèÿ å¼ äî öåíòðà ïîëÿ,               r = |~r|.   Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèëà


                             ~ = −gradU (r) = − ~r dU
                             F
                                                 r dr
íàïðàâëåíà ïî ðàäèóñ-âåêòîðó              ~r è èìååò íóëåâîé ìîìåíò îòíîñèòåëü-
íî öåíòðà ïîëÿ,
                                        ~ = ~r, F
                                                ~ ,
                                                 
                                        K
÷òî ïðèâîäèò ê ñîõðàíåíèþ ìîìåíòà èìïóëüñà

                                ~ = ~r, ~p =
                                    
                                M                    onst.


Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó                 ~.
                                         M    Ââîäÿ â ýòîé ïëîñêîñòè ïîëÿðíûå
êîîðäèíàòû       (r, ϕ),   ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ óíêöèè Ëàãðàíæà â
âèäå:
                            m 2
                               ṙ + r2 ϕ̇2 − U (r).
                                          
                             L=
                             2
Öèêëè÷íîñòü       êîîðäèíàòû ϕ ñîîòâåòñòâóåò ñîõðàíåíèþ                   ìîìåíòà èì-
ïóëüñà
                                    ∂L
                             M=          = mr2 ϕ̇ =        onst.
                                    ∂ ϕ̇
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ è óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ñëåäóåò èç
çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè

                      m 2
                        ṙ + r2ϕ̇2 + U (r) = E =
                                  
                                                               onst.
                      2
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà        ϕ̇ = M/(mr2) è ðàçðåøàÿ äàííîå óðàâíåíèå îòíî-
ñèòåëüíî   ṙ,   ïîëó÷àåì:
                                    r
                                        2          M2
                           ṙ = ±         E − U (r) − 2 2 .
                                        m            mr
Âûáîð çíàêà ïåðåä êîðíåì îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ
÷àñòèöû (ṙ      >0   ñîîòâåòñòâóåò óäàëåíèþ îò öåíòðà,                ṙ < 0    ïðèáëè-
æåíèþ ÷àñòèöû ê öåíòðó). Èíòåãðàë îò ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåò


                                              16

Страницы