Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

k
2
= 0 λ
1,2
= ±ki
x = C
1
cos(kt) + C
2
sin(kt),
C
1
C
2
C
1
C
2
˙x = −C
1
k sin(kt) + C
2
k cos(kt)
t = 0 x = a
t = 0 ˙x = 0 C
1
= a C
2
= 0 C
1
C
2
x = a cos(kt).
y = y
1
+ y
2
,
y
2
y
1
¨y + k
2
y = 0.
y = C
3
cos(kt) + C
4
sin(kt).
y
2
= A A =
y = A
y
2
= −
k
2
.
y = C
3
cos(kt) + C
4
sin(kt) −
k
2
.
C
3
C
4
˙y = −C
3
k sin(kt) + C
4
k cos(kt).
k 2 = 0,    îòêóäà   λ1,2 = ±ki.   Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ðåøåíèå äèå-
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) çàïèøåòñÿ â âèäå:


                         x = C1 cos(kt) + C2 sin(kt),                               (3)


ãäå   C1 , C2    ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ                C1   è   C2
âû÷èñëèì
                       ẋ = −C1k sin(kt) + C2k cos(kt)                              (4)

è çàòåì ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (3)        t = 0, x = a, à â óðàâíåíèå (4)
t = 0, ẋ = 0.   Íàõîäèì:    C1 = a, C2 = 0. Âíîñÿ ýòè çíà÷åíèÿ C1 è C2
â óðàâíåíèå (3), èìååì:


                                   x = a cos(kt).                                   (5)


Äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2), â îòëè÷èå îò äèåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ (1), ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, åãî îáùåå
ðåøåíèå èìååò âèä
                                   y = y1 + y2 ,                                    (6)

ãäå   y2    ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, à               y1    îáùåå
ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ:


                                   ÿ + k 2 y = 0.                                  (7)


Çàìåòèâ, ÷òî äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (7) àíàëîãè÷íî äèå-
ðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (1), çàïèøåì:


                         y = C3 cos(kt) + C4 sin(kt).                               (8)


Ïðàâàÿ ÷àñòü äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2) ïîñòîÿííà. Ïîýòî-
ìó èùåì ÷àñòíîå ðåøåíèå â âèäå            y2 = A,      ãäå   A=   onst. Ïîëîæèâ â
óðàâíåíèè (2)      y = A,   íàõîäèì:

                                              g
                                    y2 = −         .                                (9)
                                              k2
Âîñïîëüçîâàâøèñü îðìóëàìè (8) è (9), çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå ïî
îðìóëå (6):
                                                             g
                       y = C3 cos(kt) + C4 sin(kt) −    .                       (10)
                                                     k2
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ            èíòåãðèðîâàíèÿ C3 è C4         âû÷èñëèì:


                       ẏ = −C3k sin(kt) + C4k cos(kt).                         (11)


                                         18

Страницы