Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

r
E ≥ U
eff
,
U
eff
(r) = U(r) +
M
2mr
2
M
~
F = −k
2
m~r ~r
m k
2
M
0
a, −
k
2
~
ϑ
0
O M x
y
t = 0 x = a, y = −
k
2
, ˙x = 0, ˙y = ϑ
0
.
~
P = m~
~
F = −k
2
m~r
O
m
¨
~r = m~ − k
2
m~r.
x y
¨x + k
2
x = 0,
¨y + k
2
y = − .
λ
2
+
çàêîí ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Îáëàñòü äîñòóïíûõ äëÿ äâè-
æåíèÿ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû               r   îãðàíè÷åíà óñëîâèåì ïîëîæèòåëüíî-
ñòè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ:


                                        E ≥ Uef f ,
                              M
ãäå    Uef f (r) = U (r) +             ýåêòèâíûé ïîòåíöèàë äëÿ ðàäèàëü-
                             2mr2
íîãî äâèæåíèÿ.


   Ïðèìåð 1.         Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà                       M    äâèæåòñÿ â âåðòèêàëüíîé
ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, ïðîïîðöè-
îíàëüíîé åå ðàññòîÿíèþ äî íåïîäâèæíîãî öåíòðà:                               F~ = −k 2 m~r, ãäå ~r
 ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè,           m  åå ìàññà, k 2             ïîñòîÿííûé êîýèöèåíò.
Íàéòè óðàâíåíèå òðàåêòîðèè
                          òî÷êè,
                              åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò îíà
                                            g
çàíèìàëà ïîëîæåíèå           M0 a, −                  è èìåëà ñêîðîñòü           ~ 0,
                                                                                 ϑ      íàïðàâëåí-
                                            k2
íóþ ïî âåðòèêàëè ââåðõ.

   åøåíèå: Íà÷àëî îñåé äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò âçÿòî â íåïîäâèæ-
íîì öåíòðå      O,   ê êîòîðîìó ïðèòÿãèâàåòñÿ òî÷êà                         M.   Îñü    x   ïðîõîäèò
ïî ãîðèçîíòàëè âïðàâî, îñü              y    ïî âåðòèêàëè ââåðõ. Çàïèøåì íà-
÷àëüíûå óñëîâèÿ:

                                                      g
               t=0      x = a,         y=−                ,       ẋ = 0,   ẏ = ϑ0.
                                                  k2
Ê ìàòåðèàëüíîé òî÷êå ïðèëîæåíû ñëåäóþùèå ñèëû:                                    P~ = m~g       åå
âåñ,F~ = −k m~r  ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ ê íåïîäâèæíîìó
                2

öåíòðó O . Ñîñòàâèì âåêòîðíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äâè-
æåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè


                                  m~r¨ = m~g − k 2m~r.

Ïðîåêòèðóÿ íà îñè        x   è   y,   ïîëó÷èì


                                       ẍ + k 2 x = 0,                                           (1)


                                      ÿ + k 2y = −g.                                            (2)

Óðàâíåíèå (1) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì äèåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè. Äëÿ
åãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå                                       λ2 +

                                                 17

Страницы