Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(q, p, t)
df
dt
=
∂f
∂t
+
H, f
.
p q
P
α
= P
α
(q, p, t), Q
α
= Q
α
(q, p, t)
P Q
dP
α
dt
= −
∂H
′
∂Q
α
,
dQ
α
dt
=
∂H
′
∂P
α
, α = 1, ..., s.
H
′
6= H P Q
q
α
, Q
β
; q
α
, P
β
; p
α
, Q
β
; p
α
, P
β
.
F = F(q
α
, Q
β
, t)
q
α
, Q
β
p
α
=
∂F
∂q
α
, P
α
= −
∂F
∂Q
α
, H
′
= H +
∂F
∂t
.
      Äëÿ ïðîèçâîëüíîé óíêöèè            f (q, p, t)   èìååì:


                                  df   ∂f 
                                     =    + H, f .
                                  dt   ∂t

 4. Ïðåîáðàçîâàíèå îò ïåðåìåííûõ                p, q   ê íîâûì ïåðåìåííûì


                     Pα = Pα (q, p, t),          Qα = Qα (q, p, t)

      íàçûâàåòñÿ   êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì, åñëè óðàâíåíèÿ äëÿ
      P, Q   ñíîâà èìåþò âèä óðàâíåíèé              àìèëüòîíà


                dPα    ∂H′              dQα   ∂H′
                    =−     ,                =     ,           α = 1, ..., s.
                 dt    ∂Qα               dt   ∂Pα
      H′ 6= H, åñëè P   è   Q ÿâíî çàâèñÿò îò âðåìåíè. Äëÿ âñÿêîãî êàíî-
      íè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóùåñòâóåò                ïðîèçâîäÿùàÿ óíêöèÿ,
      èç êîòîðîãî îíî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî. Ïðîèçâîäÿùèå óíêöèè
      ìîãóò áûòü çàäàíû êàê óíêöèè îäíîãî èç ÷åòûðåõ íàáîðîâ
      íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ:


                    qα , Q β ;     qα , Pβ ;     pα , Q β ;   pα , Pβ .

      Ïóñòü, íàïðèìåð,      F = F (qα , Qβ , t)      ïðîèçâîäÿùàÿ óíêöèÿ â
      ïåðåìåííûõ   qα , Q β .   Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî


                        ∂F                     ∂F                     ∂F
                pα =        ,     Pα = −           ,     H′ = H +        .
                        ∂qα                    ∂Qα                    ∂t

  Ïðèìåð 1. Ñîñòàâèòü óíêöèþ Ëàãðàíæà è ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ
Ëàãðàíæà äëÿ ñëåäóþùèõ ñâîáîäíûõ ñèñòåì:


 à.   Ñâîáîäíî äâèãàþùàÿñÿ ÷àñòèöà;


 á.   Ëèíåéíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð;


 â.   ×àñòèöà, äâèãàþùàÿñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå ïîä
      äåéñòâèåì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàä-
      ðàòó ðàññòîÿíèÿ äî ñèëîâîãî öåíòðà.


  åøåíèå:

                                         29

Страницы