Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L =
m
2
˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
.
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= 0,
d
dt
∂L
∂ ˙y
−
∂L
∂y
= 0,
d
dt
∂L
∂ ˙z
−
∂L
∂z
= 0,
m¨x = 0, m¨y = 0, m¨z = 0.
~r(t =
0) = ~r
0
~
ϑ(t = 0) =
~
ϑ
0
~r(t) = ~r
0
+
~
ϑ
0
t.
m F = −kx
k =
~
F = −gradU(x),
U(x) =
kx
2
2
.
T =
m ˙x
2
2
,
L =
m ˙x
2
2
−
kx
2
2
.
¨x + ω
2
x = 0,
ω
2
= k/m
à.   Òàê êàê íà ñâîáîäíóþ ÷àñòèöó íå äåéñòâóþò íèêàêèå ñèëû, òî
     åå óíêöèÿ Ëàãðàíæà áóäåò ñîñòîÿòü òîëüêî èç êèíåòè÷åñêîé
     ýíåðãèè:
                                    m 2
                                      ẋ + ẏ 2 + ż 2 .
                                                      
                            L=
                                    2
     Ñîñòàâëÿÿ óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
                                                          
     d ∂L      ∂L            d ∂L      ∂L                  d ∂L      ∂L
             −    = 0,               −    = 0,                     −    = 0,
     dt ∂ ẋ   ∂x            dt ∂ ẏ   ∂y                  dt ∂ ż   ∂z
     íàéäåì

                        mẍ = 0,      mÿ = 0,       mz̈ = 0.
     Èíòåãðèðóÿ ýòè óðàâíåíèÿ, èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ             ~r(t =
               ~ = 0) = ϑ
                        ~0
                             
     0) = ~r0, ϑ(t               , ïîëó÷èì:


                                                ~ 0t.
                                  ~r(t) = ~r0 + ϑ

á. Ëèíåéíûì ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì                  íàçûâàþò ÷àñòèöó ìàñ-
     ñû m, äâèãàþùóþñÿ ïî ïðÿìîé ïîä              äåéñòâèåì ñèëû   F = −kx
     (k = onst). Èñïîëüçóÿ ñâÿçü ñèëû ñ           ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé


                                 F~ = −gradU (x),

     ïîëó÷èì
                                           kx2
                                   U (x) =     .
                                            2
     Òàê êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà


                                         mẋ2
                                     T =      ,
                                          2
     òî äëÿ óíêöèè Ëàãðàíæà íàéäåì


                                    mẋ2 kx2
                                 L=     −    .
                                     2    2
     Ñîñòàâëÿÿ óðàâíåíèå Ëàãðàíæà, ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
     îñöèëëÿòîðà â âèäå

                                   ẍ + ω 2 x = 0,
     ãäå   ω 2 = k/m.

                                       30

Страницы