Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

~
F = −
α
ρ
2
~e
ρ
,
α
U(ρ) =
α
ρ
.
ϑ
2
= ˙ρ
2
+ ρ
2
˙ϕ
2
L =
m
2
˙ρ
2
+ ρ
2
˙ϕ
2
−
α
ρ
.
d
dt
∂L
∂ ˙ρ
−
∂L
∂ρ
= 0,
d
dt
∂L
∂ ˙ϕ
−
∂L
∂ϕ
= 0,
m¨ρ − mρ ˙ϕ
2
+
α
ρ
2
= 0, mρ
2
¨ϕ + 2mρ ˙ρ ˙ϕ = 0,
ma
ρ
= −
α
ρ
2
, ma
ϕ
= 0,
a
ρ
a
ϕ
˙q
α
p
α
 â.   Çàïèøåì ñèëó äåéñòâóþùóþ íà ÷àñòèöó, äâèæóùóþñÿ â öåíòðàëüíî-
      ñèììåòðè÷íîì ïîëå â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:

                                              α
                                        F~ = − 2 ~eρ ,
                                              ρ
      ãäå   α     êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîëàãàÿ ïîòåíöèàë ðàâíûì
      íóëþ â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå îò ñèëîâîãî öåíòðà, äëÿ
      ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû íàéäåì

                                                     α
                                         U (ρ) =       .
                                                     ρ
      Òàê êàê êâàäðàò ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîð-
      äèíàò èìååò âèä           ϑ2 = ρ̇2 + ρ2 ϕ̇2,    òî äëÿ óíêöèè Ëàãðàíæà
      ïîëó÷àåì âûðàæåíèå

                                       m 2           α
                                  L=     ρ̇ + ρ2 ϕ̇2 − .
                                       2              ρ
      Ñîñòàâëÿÿ óðàâíåíèå Ëàãðàíæà
                                                    
                      d ∂L      ∂L                 d ∂L      ∂L
                              −    = 0,                    −    = 0,
                      dt ∂ ρ̇   ∂ρ                 dt ∂ ϕ̇   ∂ϕ
      íàéäåì óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

                                      α
                     mρ̈ − mρϕ̇2 +       = 0,       mρ2 ϕ̈ + 2mρρ̇ϕ̇ = 0,
                                      ρ2
      êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îáû÷íûìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû
      â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

                                           α
                                 maρ = −      ,      maϕ = 0,
                                           ρ2
      ãäå   aρ   è   aϕ    ðàäèàëüíîå è óãëîâîå óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû.


     Ïðèìåð 2. Ñîñòàâèòü óíêöèþ                  àìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâ-
íåíèÿ äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿ-
æåñòè, â äåêàðòîâîé, öèëèíäðè÷åñêîé è ñåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ êîîð-
äèíàò. Äëÿ ñëó÷àÿ äåêàðòîâîé ñèñòåìû ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.

     åøåíèå: Äëÿ ïîñòðîåíèÿ óíêöèè                       àìèëüòîíà èñïîëüçóåì ñî-
îòíîøåíèå (2), çàìåíèâ â íåì îáîáùåííûå ñêîðîñòè                    q̇α   íà èìïóëüñû
pα   ñ ïîìîùüþ (1).


                                           31

Страницы