Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ω = αϕ
t = 0 ϕ = ϕ
0
ϕ ω
ϕ
ω =
dϕ
dt
= αϕ.
Z
dϕ
ϕ
= α
Z
dt.
ϕ = C exp(αt),
C
ϕ = ϕ
0
exp(αt), ω =
dϕ
dt
= αϕ
0
exp(αt).
ϕ = ϕ
0
exp(αt) ω = αϕ
0
exp(αt)
x y
x = y = 0
~
ϑ = a
~
i +bx
~
j a b
~
i
~
j x y
y(x)
y− x
dt
dy = ϑ
y
dt, dx = ϑ
x
dt,
ϑ
y
= bx ϑ
x
= a
dy = (b/a)xdx.
y =
Z
x
0
(b/a)xdx =
bx
2
2a
,
   Ïðèìåð 2. Òâåðäîå òåëî âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè òàê,
÷òî åãî óãëîâàÿ ñêîðîñòü çàâèñèò îò óãëà ïîâîðîòà ïî çàêîíó            ω = αϕ.
 ìîìåíò âðåìåíè  t = 0 óãîë ϕ = ϕ0 . Íàéòè çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè
óãëà ïîâîðîòà ϕ è óãëîâîé ñêîðîñòè ω .

   åøåíèå: Äëÿ óãëà ϕ ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå äèåðåíöè-
àëüíîå óðàâíåíèå:
                                            dϕ
                               ω=              = αϕ.
                                            dt
àçäåëèì ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ è ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå

                                       dϕ
                               Z                  Z
                                          =α          dt.
                                       ϕ
åçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ:

                               ϕ = C exp(αt),
ãäå   C    ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
è âûïîëíÿÿ äèåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì:

                                                   dϕ
               ϕ = ϕ0 exp(αt),               ω=       = αϕ0 exp(αt).
                                                   dt
   Îòâåò:      ϕ = ϕ0 exp(αt), ω = αϕ0 exp(αt).


   Ïðèìåð 3.     ×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòÿõ       x, y èç òî÷êè ñ êîîð-
äèíàòàìè x = y = 0 ñî ñêîðîñòüþ ϑ  ~ = a~i + bx~j , ãäå a è b  íåêîòîðûå
ïîñòîÿííûå, ~
            i è ~j  îðòû îñåé x è y . Íàéòè óðàâíåíèå åå òðàåêòîðèè
y(x).
   åøåíèå: Çàïèøåì ïðèðàùåíèÿ y− è x-êîîðäèíàò ÷àñòèöû çà
ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt.


                         dy = ϑy dt,              dx = ϑx dt,
ãäå   ϑy = bx, ϑx = a.   Âçÿâ èõ îòíîøåíèå, ïîëó÷èì


                               dy = (b/a)xdx.
Èíòåãðèðóåì ýòî óðàâíåíèå:

                                       x
                                                      bx2
                               Z
                          y=               (b/a)xdx =     ,
                                   0                  2a
                                              8

Страницы