ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
x x
t u(x, t)
G(x, t) [G = /
2
]
u(x, t) [u = ]
∂
2
u
∂t
2
− v
2
∂
2
u
∂x
2
= G,
v
T [T = · /
2
]
ρ [ρ = / ] v
2
= T /ρ
x
u
x u
u
n
≈ 0 n ≥ 2
G 6= 0
u(x, t)
u(x, t)
u(x, 0) = f (x), u
′
t
(x, 0) = u
′
t
(x, t)
t=0
= F (x).
u
1
(x, t) u
2
(x, t)
αu
1
(x, t) + βu
2
(x, t)
l
x = 0 x = l
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0
u
′
x
(0, t) = 0, u
′
x
(l, t) = 0.
u(0, t) = 0, u
′
x
(l, t) = 0,
u
′
x
(0, t) = 0, u(l, t) = 0.
l
x = 0 x = l
x
u(0, t) = φ(t), u(l, t) = ψ(t).
1 Ó ÀÂÍÅÍÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÒ ÓÍÛ ðàíè÷íûå óñëîâèÿ äåëÿòñÿ íà äâà òèïà îäíîðîäíûå è íåîäíî-
ðîäíûå. Åñëè ñòðóíà èìååò áåñêîíå÷íóþ äëèíó, òî ãðàíè÷íûå óñëî-
àñïîëîæèì ñòðóíó âäîëü îñè x è îáîçíà÷èì îòêëîíåíèå òî÷êè x âèÿ íå íàêëàäûâàþòñÿ.
ñòðóíû â ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç u(x, t). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ñòðó-
íó äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà, ïëîòíîñòü êîòîðîé íà åäèíèöó ìàññû Îäíîðîäíûå. Åñëè ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû äëÿ äâóõ óíêöèé
ñòðóíû G(x, t) [G = ì/ åê2 ]. Òîãäà îòêëîíåíèå ñòðóíû u(x, t) [u = ì] u1 (x, t) è u2 (x, t), òî îíè âûïîëíåíû è äëÿ ëþáîé èõ ëèíåéíîé
óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó äè åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñò- êîìáèíàöèè αu1 (x, t) + βu2 (x, t). Ìû ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå
íûõ ïðîèçâîäíûõ: òèïû îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
∂2u 2 1. Ñòðóíà èìååò êîíå÷íóþ äëèíó l è çàêðåïëåíà íà êîíöàõ â
2∂ u
− v = G, òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìè x = 0 è x = l. Óñëîâèÿ èìåþò âèä
∂t2 ∂x2
ãäå ïàðàìåòð v , èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (2a)
ñèëó íàòÿæåíèÿ ñòðóíû T [T = êã · ì/ åê2 ] è åå ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü
ρ [ρ = êã/ì] ñëåäóþùèì îáðàçîì: v 2 = T /ρ. Ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåä- è íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè Äèðèõëå.
ëèâî ïðè ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ. Êîëåáàíèÿ ñòðóíû ÿâëÿþòñÿ 2. Óãîë íàêëîíà ñòðóíû íà êîíöàõ èêñèðîâàí:
ïëîñêèìè: âñå òî÷êè ñòðóíû âñåãäà íàõîäÿòñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè,
ïðè÷åì ñòðóíà ðàñïîëîæåíà âäîëü îñè x, à îòêëîíåíèå ñòðóíû u′x (0, t) = 0, u′x (l, t) = 0. (2b)
ïðîèñõîäèò âäîëü îñè u,
Òàêèå óñëîâèÿ íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè Íåéìàíà.
ïîïåðå÷íûìè: êàæäàÿ òî÷êà ñòðóíû ïåðåìåùàåòñÿ â íàïðàâëåíèè, 3. Ìîæíî ðàññìîòðåòü êîìáèíàöèþ óñëîâèé (2a) è (2b). Ëå-
ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè x, ò.å. â íàïðàâëåíèè îñè u, âûé êðàé ñòðóíû çàêðåïëåí, à íà ïðàâîì èêñèðîâàí íó-
ëåâîé óãîë íàêëîíà:
ìàëûìè ïî àìïëèòóäå: ïðåíåáðåãàåì ñòåïåíÿìè îòêëîíåíèÿ âû-
øå ïåðâîé un ≈ 0, äëÿ n ≥ 2. u(0, t) = 0, u′x (l, t) = 0, (2 )
Åñëè âíåøíÿÿ ñèëà íå ðàâíà íóëþ, ò.å. G =6 0, òî ýòî óðàâíåíèå îïè- è, íàîáîðîò, ïðàâûé êðàé ñòðóíû çàêðåïëåí, à íà ëåâîì
ñûâàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, à óðàâíåíèå êîëåáàíèé íà- èêñèðîâàí óãîë íàêëîíà, ðàâíûé íóëþ:
çûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ
îäíîðîäíûì è îïèñûâàåò ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû. u′x (0, t) = 0, u(l, t) = 0. (2d)
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèÿ ñòðóíû, ò.å. äëÿ íàõîæäåíèÿ
Íåîäíîðîäíûå. Òàêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íàðóøàþò óñëîâèå ïðå-
â ÿâíîì âèäå çàêîíà êîëåáàíèÿ u(x, t) íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå
è ãðàíè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ. Ïîñêîëüêó â óðàâíåíèå, îïèñûâàþ- äûäóùåãî ïóíêòà. Ìû ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå òèïû íåîäíî-
ùåå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, âõîäèò âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè, òî ðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
íåîáõîäèìî çàäàâàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå è íà÷àëüíóþ ïðîèçâîäíóþ 1. Ñòðóíà èìååò êîíå÷íóþ äëèíó l, íî êîíöû ñòðóíû â òî÷êàõ
ïî âðåìåíè îò u(x, t). Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èìåþò ñëå- ñ êîîðäèíàòàìè x = 0 è x = l äâèæóòñÿ ïî çàäàííûì
äóþùèé âèä: çàêîíàì â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè x. Óñëîâèÿ
èìåþò âèä
u(x, 0) = f (x), u′t (x, 0) = u′t (x, t)t=0 = F (x). (1)
u(0, t) = φ(t), u(l, t) = ψ(t). (3a)
3 4
