ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1 ÓÀÂÍÅÍÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÒÓÍÛ ðàíè÷íûå óñëîâèÿ äåëÿòñÿ íà äâà òèïà îäíîðîäíûå è íåîäíî- ðîäíûå. Åñëè ñòðóíà èìååò áåñêîíå÷íóþ äëèíó, òî ãðàíè÷íûå óñëî- àñïîëîæèì ñòðóíó âäîëü îñè x è îáîçíà÷èì îòêëîíåíèå òî÷êè x âèÿ íå íàêëàäûâàþòñÿ. ñòðóíû â ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç u(x, t). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ñòðó- íó äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà, ïëîòíîñòü êîòîðîé íà åäèíèöó ìàññû Îäíîðîäíûå. Åñëè ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû äëÿ äâóõ óíêöèé ñòðóíû G(x, t) [G = ì/ åê2 ]. Òîãäà îòêëîíåíèå ñòðóíû u(x, t) [u = ì] u1 (x, t) è u2 (x, t), òî îíè âûïîëíåíû è äëÿ ëþáîé èõ ëèíåéíîé óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñò- êîìáèíàöèè αu1 (x, t) + βu2 (x, t). Ìû ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå íûõ ïðîèçâîäíûõ: òèïû îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. ∂2u 2 1. Ñòðóíà èìååò êîíå÷íóþ äëèíó l è çàêðåïëåíà íà êîíöàõ â 2∂ u − v = G, òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìè x = 0 è x = l. Óñëîâèÿ èìåþò âèä ∂t2 ∂x2 ãäå ïàðàìåòð v , èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (2a) ñèëó íàòÿæåíèÿ ñòðóíû T [T = êã · ì/ åê2 ] è åå ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü ρ [ρ = êã/ì] ñëåäóþùèì îáðàçîì: v 2 = T /ρ. Ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåä- è íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè Äèðèõëå. ëèâî ïðè ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ. Êîëåáàíèÿ ñòðóíû ÿâëÿþòñÿ 2. Óãîë íàêëîíà ñòðóíû íà êîíöàõ èêñèðîâàí: ïëîñêèìè: âñå òî÷êè ñòðóíû âñåãäà íàõîäÿòñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ñòðóíà ðàñïîëîæåíà âäîëü îñè x, à îòêëîíåíèå ñòðóíû u′x (0, t) = 0, u′x (l, t) = 0. (2b) ïðîèñõîäèò âäîëü îñè u, Òàêèå óñëîâèÿ íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè Íåéìàíà. ïîïåðå÷íûìè: êàæäàÿ òî÷êà ñòðóíû ïåðåìåùàåòñÿ â íàïðàâëåíèè, 3. Ìîæíî ðàññìîòðåòü êîìáèíàöèþ óñëîâèé (2a) è (2b). Ëå- ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè x, ò.å. â íàïðàâëåíèè îñè u, âûé êðàé ñòðóíû çàêðåïëåí, à íà ïðàâîì èêñèðîâàí íó- ëåâîé óãîë íàêëîíà: ìàëûìè ïî àìïëèòóäå: ïðåíåáðåãàåì ñòåïåíÿìè îòêëîíåíèÿ âû- øå ïåðâîé un ≈ 0, äëÿ n ≥ 2. u(0, t) = 0, u′x (l, t) = 0, (2 ) Åñëè âíåøíÿÿ ñèëà íå ðàâíà íóëþ, ò.å. G =6 0, òî ýòî óðàâíåíèå îïè- è, íàîáîðîò, ïðàâûé êðàé ñòðóíû çàêðåïëåí, à íà ëåâîì ñûâàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, à óðàâíåíèå êîëåáàíèé íà- èêñèðîâàí óãîë íàêëîíà, ðàâíûé íóëþ: çûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì è îïèñûâàåò ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû. u′x (0, t) = 0, u(l, t) = 0. (2d) Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèÿ ñòðóíû, ò.å. äëÿ íàõîæäåíèÿ Íåîäíîðîäíûå. Òàêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íàðóøàþò óñëîâèå ïðå- â ÿâíîì âèäå çàêîíà êîëåáàíèÿ u(x, t) íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ. Ïîñêîëüêó â óðàâíåíèå, îïèñûâàþ- äûäóùåãî ïóíêòà. Ìû ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå òèïû íåîäíî- ùåå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, âõîäèò âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè, òî ðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. íåîáõîäèìî çàäàâàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå è íà÷àëüíóþ ïðîèçâîäíóþ 1. Ñòðóíà èìååò êîíå÷íóþ äëèíó l, íî êîíöû ñòðóíû â òî÷êàõ ïî âðåìåíè îò u(x, t). Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èìåþò ñëå- ñ êîîðäèíàòàìè x = 0 è x = l äâèæóòñÿ ïî çàäàííûì äóþùèé âèä: çàêîíàì â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè x. Óñëîâèÿ èìåþò âèä u(x, 0) = f (x), u′t (x, 0) = u′t (x, t)t=0 = F (x). (1) u(0, t) = φ(t), u(l, t) = ψ(t). (3a) 3 4