ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.05 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.1 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.15 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.2 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.25 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.3 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.35 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.4 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.45 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0.5 cek
v = 2 / , l = 1 , h = (4 − π)/π
3
× cos(ω
n
t) sin(
πnx
l
)
=
l
2
hπ
3
(4 − π) cos(ω
1
t) sin(
πx
l
) + cos(ω
2
t) sin(
2πx
l
)
+
4 + 3π
27
cos(ω
3
t) sin(
3πx
l
) + . . .
.
t
t = 1
ν = 1
ω
1
= πv/l = 2π
c
1
c
2
c
1
− c
2
= 0,
c
1
e
l
√
λ
− c
2
e
−l
√
λ
= 0.
1 −1
e
l
√
λ
−e
−l
√
λ
= −e
−l
√
λ
+ e
l
√
λ
= 0
µ =
0, ±
π
l
, ±
2π
l
, . . .
c
2
= c
1
X(x) = 2c
1
cos(µx).
µ =
0.25 0.5 0.75 1
x
- 1
1
2
u
t= 0 cek
f(x)
x = 0
x = l
F (x) = 0
0
µ
µ =
πn
l
, n = 0, 1, 2, 3, . . . ,
X(x) = 2c
1
cos(
πnx
l
).
(ω
n
= πnv/l)
u(x, t) =
α
0
2
+
∞
X
n=1
[α
n
cos ω
n
t + β
n
sin ω
n
t]
× cos(
πnx
l
),
u u u 2.2 Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû êîíå÷íîé äëèíû.
2 t=0 cek 2 t=0.05 cek 2 t=0.1 cek
1 1 1
Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2b).
0.25 0.5 0.75 1
x 0.25 0.5 0.75 1
x 0.25 0.5 0.75 1
x àññìîòðèì äàëåå âòîðîé òèï îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
(2b), íàçûâàåìûõ îáû÷íî óñëîâèÿìè Íåéìàíà. Ôîðìà ðåøåíèÿ (6)
-1 -1 -1
-2 -2 -2
u u u
íå èçìåíèòñÿ. Íî ïîñêîëüêó òèï ãðàíè÷íûõ óñëîâèé èçìåíèëñÿ, òî
2 t=0.15 cek 2 t=0.2 cek 2 t=0.25 cek ýòî ïðèâåäåò ê èçìåíåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé íà ïîñòîÿííûå c1 è c2 .
1 1 1 Ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
x x x
c − c2 √ = 0,
0.25 0.5 0.75 1 0.25 0.5 0.75 1 0.25 0.5 0.75 1
-1 -1 -1 √ 1
l λ −l λ
-2 -2 -2 c1 e − c2 e = 0.
u u u
Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ
2 t=0.3 cek 2 t=0.35 cek 2 t=0.4 cek
1 1 1 1 −1√ √
λ
√
x x x √
l λ = −e−l + el λ
=0
-1
0.25 0.5 0.75 1
-1
0.25 0.5 0.75 1
-1
0.25 0.5 0.75 1 e −e−l λ
-2 -2 -2
èìååò òîò æå âèä, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ïàðàãðà å, è ïîýòîìó µ =
l , . . ., íî èçìåíèëàñü ñâÿçü ìåæäó êîíñòàíòàìè: c2 = c1 .
0, ± πl , ± 2π
u u
2 t=0.45 cek 2 t=0.5 cek
Ïîñëåäíåå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îðìà ðåøåíèÿ èçìåíèòñÿ
1 1
0.25 0.5 0.75 1
x 0.25 0.5 0.75 1
x X(x) = 2c1 cos(µx).
-1 -1
-2 -2
u Òåïåðü íåëüçÿ îòáðàñûâàòü ðåøåíèå ñ µ =
2 0, ïîñêîëüêó ýòî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ íåòðè-
èñ. 2: Íà ðèñóíêàõ èçîáðàæåíà îðìà ñòðóíû â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè. 1 âèàëüíûì. Âñëåäñòâèå ÷åòíîñòè óíêöèè
Ñòðóíà çàêðåïëåíà íà êîíöàõ, âíåøíèå ñèëû îòñóòñòâóþò. Âûáðàíû ñëåäóþùèå êîñèíóñ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïî-
v = 2ì/ñåê, l = 1ì, h = (4 − π)/π 3 ì. x
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ:
0.25 0.5 0.75 1 ëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ µ. Èòàê, ñïåêòð â
-1 t=0 cek ýòîì ñëó÷àå íà÷èíàåòñÿ ñ íóëÿ
πnx πn
× cos(ωn t) sin( ) èñ. 3: Íà÷àëüíàÿ îðìà µ= , n = 0, 1, 2, 3, . . . ,
l l
f (x) ñòðóíû, êàñàòåëüíàÿ ê
l2
πx 2πx
= 3
(4 − π) cos(ω1 t) sin( ) + cos(ω2 t) sin( ) êîòîðîé â òî÷êàõ x = 0 è à ñîáñòâåííûå óíêöèè èìåþò âèä
hπ l l x = l ðàâíà íóëþ. Íà÷àëüíàÿ
πnx
ñêîðîñòü êàæäîé òî÷êè ñòðó-
X(x) = 2c1 cos( ).
4 + 3π 3πx
+ cos(ω3 t) sin( ) + ... . íû îòñóòñòâóåò F (x) = 0. l
27 l
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäà÷è (ωn = πnv/l)
Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíî äâèæåíèå ñòðóíû â òå÷åíèè ïîëóïåðèî- ∞
α0 X
äà. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè t îðìà ñòðóíû áóäåò ìåíÿòüñÿ â u(x, t) = + [αn cos ωn t + βn sin ωn t]
îáðàòíîì ïîðÿäêå, è â ìîìåíò t = 1ñåê ñòðóíà âåðíåòñÿ â èñõîäíîå 2 n=1
ïîëîæåíèå. Ëèíåéíàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé òàêîé ñòðóíû ν = 1 ö. Ýòî πnx
× cos( ), (11)
âèäíî èç òîãî, ÷òî îñíîâíîé òîí ñòðóíû ω1 = πv/l = 2π . l
9 10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
