ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1 ±1
e
l
√
λ
∓e
−l
√
λ
= ∓e
−l
√
λ
∓ e
l
√
λ
= 0.
λ = −µ
2
cos(µl) = 0,
µ =
π
l
(n +
1
2
), n = 0, ±1, ±2, . . . ,
c
2
= ∓c
1
X(x) = 2ic
1
sin
πx
l
(n +
1
2
)
,
X(x) = 2c
1
cos
πx
l
(n +
1
2
)
.
n → −1 − n
n
µ =
π
l
(n +
1
2
), n = 0, 1, 2, . . . .
u(x, t) =
∞
X
n=0
h
α
n
cos(ω
n+
1
2
t) + β
n
sin(ω
n+
1
2
t)
i
sin
πx
l
(n +
1
2
)
,
ω
n+
1
2
=
vπ
l
(n +
1
2
)
α
n
=
2
l
Z
l
0
f(x) sin
πx
l
(n +
1
2
)
dx,
β
n
=
2
vπ
Z
l
0
F (x) sin
πx
l
(n +
1
2
)
dx.
u(x, t) =
∞
X
n=0
h
α
n
cos(ω
n+
1
2
t) + β
n
sin(ω
n+
1
2
t)
i
cos
πx
l
(n +
1
2
)
,
α
n
=
2
l
Z
l
0
f(x) cos
πx
l
(n +
1
2
)
dx,
β
n
=
2
vπ
Z
l
0
F (x) cos
πx
l
(n +
1
2
)
dx.
n = 0
vπ/2l
l
x = 0 x = l
f(x) = u(x, 0) =
x
2
h
, 0 ≤ x ≤
l
4
(x−
l
2
)
2
h
,
l
4
≤ x ≤
l
2
0,
l
2
≤ x ≤ l
,
F (x) = u
′
t
(x, 0) = 0.
åòñÿ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êîíöû ñòðóíû Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðåøåíèå çàäà÷è êîëåáàíèÿ
îñòàþòñÿ ñâîáîäíûìè è "íå çàñòàâëÿþò" ñòðóíó ïåðåâîðà÷èâàòüñÿ. ñòðóíû ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2 ):
∞ h
Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû êîíå÷íîé äëèíû.
2.3 X i πx 1
u(x, t) = αn cos(ωn+ 21 t) + βn sin(ωn+ 21 t) sin (n + ) ,
Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2 ), (2d). l 2
n=0
àññìîòðèì, íàêîíåö, ñìåøàííûé òèï ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2 ) è ãäå ωn+ 12 = vπ
+ 12 ), è
l (n
(2d). Íà îäíîì êîíöå çàäàíî óñëîâèå Äèðèõëå, à íà äðóãîì óñëî-
âèå Íåéìàíà. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ èìå- l
2 πx 1
Z
åò âèä (âåðõíèé çíàê ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ (2 ), à íèæíèé óñëîâèþ αn = f (x) sin (n + ) dx, (16a)
l 0 l 2
(2d)) Z l
1√ ±1√ 2 πx 1
(16b)
√ √
= ∓e −l λ
∓ e l λ
= 0. βn = F (x) sin (n + ) dx.
el λ ∓e−l λ vπ 0 l 2
åøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ îòëè÷àþòñÿ îò ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ. Äåé-  ñëó÷àå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2d) ïîëó÷àåì
ñòâèòåëüíî, ïîëîæèì λ = −µ2 , è òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ íà- ∞ h
õîæäåíèÿ ñïåêòðà
X i πx 1
u(x, t) = αn cos(ωn+ 2
1 t) + β n sin(ω 1
n+ 2 t) cos (n + ) ,
cos(µl) = 0, n=0
l 2
ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò ñëåäóþùèé âèä: ãäå
π 1 l
2 πx 1
Z
µ = (n + ), n = 0, ±1, ±2, . . . ,
l 2 αn = f (x) cos (n + ) dx,
l 0 l 2
è c2 = ∓c1 . Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2 ) Z l
2 πx 1
ïîëó÷àåì ðåøåíèå βn = F (x) cos (n + ) dx.
vπ 0 l 2
πx 1
X(x) = 2ic1 sin (n + ) , (14)  îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ñëó÷àåâ ÷àñòîòà îñíîâíîãî òîíà ïðè n = 0
l 2
ðàâíà vπ/2l, ò.å. â äâà ðàçà ìåíüøå. Ïåðèîä êîëåáàíèé ñîîòâåòñòâåí-
à äëÿ óñëîâèé (2d), ñîîòâåòñòâåííî, íî â äâà ðàçà áîëüøå. Äëÿ äåìîíñòðàöèè ýòîãî ðàññìîòðèì ñëåäóþ-
ùèé ïðèìåð.
πx 1 Ïðèìåð 3. àññìîòðèì ñòðóíó äëèíîé l , çàêðåïëåííóþ â òî÷êå
X(x) = 2c1 cos (n + ) . (15)
l 2 x = 0, è êàñàòåëüíàÿ ê êîòîðîé â òî÷êå x = l ðàâíà íóëþ, è ðàññìîò-
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè çàìåíå n → −1 − n óíêöèè (14) òîëüêî ðèì òàêèå æå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ êàê è â ïðèìåðå 2:
ìåíÿþò çíàê, à óíêöèè (15) îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ïî ýòîé ïðè-
x2
h ,2 0 ≤ x ≤ 4l
÷èíå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ n, è
l
f (x) = u(x, 0) = (x− 2 )
ñïåêòð èìååò ñëåäóþùèé âèä: h , 4l ≤ x ≤ 2l ,
l
0, 2 ≤x ≤l
π 1
µ= (n + ), n = 0, 1, 2, . . . . F (x) = u′t (x, 0) = 0.
l 2
13 14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
