ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
c
n
(t)
(ω
n
= nvπ/l)
c
′′
n
(t) + ω
2
n
c
n
(t) = γ
n
(t).
c
n
(0) c
′
n
(0)
u(x, 0) =
∞
X
n=1
c
n
(0) sin(
πnx
l
) = f(x),
u
′
t
(x, 0) =
∞
X
n=1
c
′
n
(0) sin(
πnx
l
) = F (x).
c
n
(0) =
2
l
Z
l
0
f(x) sin(
πnx
l
)dx = α
n
,
c
′
n
(0) =
2
l
Z
l
0
F (x) sin(
πnx
l
)dx =
vπ
l
β
n
.
α
n
β
n
c
n
(t)
c
n
(t) = A
n
cos(ω
n
t) + B
n
sin(ω
n
t) + c
n
(t).
A
n
= c
n
(0) − c
n
(0),
B
n
=
c
′
n
(0) − c
′
n
(0)
ω
n
.
γ
n
(t) = δ(t) sin(ωt) γ
n
(t) = δ(t) cos(ωt),
ω ω
1
=
vπ
l
ω
n
=
vπn
l
l
x = 0 x = l
G = −g
f(x) = u(x, 0) =
(
x(
l
2
−x)
h
, 0 ≤ x ≤
l
2
0,
l
2
≤ x ≤ 0
,
F (x) = u
′
t
(x, 0) = 0.
γ
n
= −
2
l
Z
l
0
g sin(
πnx
l
)dx = −
2g
πn
(1 − (−1)
n
),
ñ íåèçâåñòíûìè óíêöèÿìè cn (t). Ýòè óíêöèè óäîâëåòâîðÿþò äè - Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå äàííûå, ëåãêî ïîëó÷àåì
åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà (ωn = nvπ/l)
An = cn (0) − c÷n (0), (23a)
c′′n (t) + ωn2 cn (t) = γn (t). (20) ÷
c′n (0) − c′ n (0)
Bn = . (23b)
×òîáû ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå óñëî- ωn
âèÿ, ò.å. íåîáõîäèìî çàäàòü cn (0) è c′n (0). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íà-
÷àëüíûå óñëîâèÿ Ïðîáëåìà ñîñòîèò òîëüêî â òîì, ÷òîáû íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå. Ñó-
ùåñòâóåò îáùàÿ òåîðèÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâ-
∞
X πnx íåíèé êàê â îáùåì ñëó÷àå, òàê è äëÿ ÷àñòíûõ âèäîâ âíåøíåé ñèëû,
u(x, 0) = cn (0) sin( ) = f (x),
l èñïîëüçóÿ êîòîðóþ, ìîæíî íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå. Èç ýòîé òåîðèè
n=1
∞ ñëåäóåò, åñëè âûíóæäàþùàÿ ñèëà ñîäåðæèò ïåðèîäè÷åñêóþ ÷àñòü âè-
X πnx äà
u′t (x, 0) = c′n (0) sin( ) = F (x).
n=1
l γn (t) = δ(t) sin(ωt) èëè γn (t) = δ(t) cos(ωt),
Îòñþäà ïîëó÷àåì âåëè÷èíó íà÷àëüíûõ äàííûõ òî íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü äâà ñëó÷àÿ: ñîâïàäàåò èëè íå ñîâïàäàåò ÷à-
ñòîòà âíåøíåé ñèëû ω ñ îñíîâíîé ÷àñòîòîé ω1 = vπ l èëè îäíèì èç
2 l πnx
Z
cn (0) = f (x) sin( )dx = αn , (21a) îáåðòîíîâ ωn = vπnl . Åñëè òàêîãî ñîâïàäåíèÿ íåò, òî çàêîí êîëåáàíèÿ
l 0 l ñòðóíû ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåé. Åñëè æå ÷àñòîòà âíåøíåé
2 l πnx vπ ñèëû ñîâïàäàåò èëè ñ îñíîâíîé ÷àñòîòîé, èëè ñ ÷àñòîòàìè îáåðòîíîâ,
Z
c′n (0) = F (x) sin( )dx = βn . (21b) òî âîçíèêàåò ÿâëåíèå ðåçîíàíñà è àìïëèòóäà ñîîòâåòñòâóþùåé ÷à-
l 0 l l
ñòîòû ðàñòåò ëèíåéíî ñî âðåìåíåì. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ
Êîý èöèåíòû αn è βn ÿâëÿþòñÿ êîý èöèåíòàìè òàêîé æå êðàå-
ñòðóíû âûâåäåíî ïðè óñëîâèè ìàëîñòè àìïëèòóäû êîëåáàíèé, òî ðå-
âîé çàäà÷è (9), íî äëÿ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ñòðóíû.
çîíàíñíûé ðîñò àìïëèòóäû êîëåáàíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî
Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ çàäà÷è â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóþ- íà ìàëûõ âðåìåíàõ, êîãäà àìïëèòóäà íå âîçðàñòàåò ñëèøêîì ñèëüíî.
ùàÿ. Âû÷èñëÿåì âíà÷àëå êîý èöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âíåøíåé ñèëû
Ïðèìåð 4. àññìîòðèì ñòðóíó äëèíîé l , çàêðåïëåííóþ â òî÷êàõ
(18) â ðÿä ïî ñèíóñàì. Çàòåì íàõîäèì íà÷àëüíûå äàííûå ïî îð-
x = 0 è x = l è íàõîäÿùóþñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Òîãäà ïëîòíîñòü
ìóëàì (21) è ðåøàåì óðàâíåíèÿ (20) ñ ýòèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè.
ñèëû áóäåò ñîâïàäàòü ñ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ G = −g . àñ-
Ïîäñòàâëÿåì çàòåì ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ â (19). Ýòî è åñòü èñêîìûé
ñìîòðèì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ êàê è â ïðèìåðå 1:
çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû.
Âî âñåé ýòîé ïðîöåäóðå çàòðóäíåíèå âûçûâàåò ðåøåíèå óðàâíå-
(
x( 2l −x)
, 0 ≤ x ≤ 2l ,
íèÿ (20). Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáûêíîâåííîå íåîäíîðîäíîå äè - f (x) = u(x, 0) = h
l
åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîý è- 0, 2 ≤ x≤ 0
öèåíòàìè. Èç îáùåé òåîðèè òàêèõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî îáùåå ðå- F (x) = u′t (x, 0) = 0.
øåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó îáùåãî
ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ëþáîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîä- Íà÷àëüíàÿ îðìà ñòðóíû èçîáðàæåíà íà èñ. 1. Ïî îðìóëå (18)
íîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç c÷n (t). Òàêèì îá- íàõîäèì Ôóðüå-êîìïîíåíòû ïëîòíîñòè ñèëû:
ðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20) èìååò âèä l
2 πnx 2g
Z
cn (t) = An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t) + c÷n (t). (22) γn = − g sin( )dx = − (1 − (−1)n ),
l 0 l πn
17 18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
