ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
f(x) = u(x, 0) =
(
x(
l
2
−x)
h
, 0 ≤ x ≤
l
2
0,
l
2
≤ x ≤ 0
,
F (x) = u
′
t
(x, 0) = 0.
γ
n
= −
2
l
Z
l
0
g sin(ω
1
t) sin(
πnx
l
)dx = δ
n
sin(ω
1
t),
δ
n
= −
2g
πn
(1 − (−1)
n
)
c
n
(0) =
2
l
Z
l/2
0
x(
l
2
− x)
h
sin(
πnx
l
)dx
=
l
2
hπ
3
n
3
n
4 − 4 cos(
πn
2
) − πn sin(
πn
2
)
o
= α
n
,
c
′
n
(0) =
2
l
Z
l
0
F (x) sin(
πnx
l
)dx = β
n
vπ
l
= 0.
c
n
c
′′
n
(t) + ω
2
n
c
n
(t) = δ
n
sin(ω
1
t).
ω
1
=
vπ
l
ω
n
=
vπn
l
ω
1
n = 1
n 6= 1
c
n
(t) = D
n
sin(ω
1
t),
n = 1
c
1
(t) = D
1
t cos(ω
1
t).
D
n
=
δ
n
ω
2
n
− ω
2
1
= −
2gl
2
(1 − (−1)
n
)
v
2
π
3
n
1
n
2
− 1
,
D
1
= −
δ
1
2ω
1
=
2gl
vπ
2
.
c
n
= α
n
cos(ω
n
t) +
2gl
2
(1 − (−1)
n
)
v
2
π
3
n
2
(n
2
− 1)
{sin(ω
n
t) − n sin(ω
1
t)} ,
c
1
= α
1
cos(ω
1
t) +
2gl
2
v
2
π
3
{ω
1
t cos(ω
1
t) − sin(ω
1
t)} .
u(x, t) =
l
2
hπ
3
∞
X
n=1
1
n
3
n
4 − 4 cos(
πn
2
) − πn sin(
πn
2
)
o
cos(ω
n
t) sin(
πnx
l
)
+
2g
πω
2
1
∞
X
n=2
1 − (−1)
n
n
2
(n
2
− 1)
{sin(ω
n
t) − n sin(ω
1
t)} sin(
πnx
l
)
+
2g
πω
2
1
{ω
1
t cos(ω
1
t) − sin(ω
1
t)} .
ν =
1
óñëîâèÿ êàê è â ïðèìåðå 1: à ïðè n = 1
( c÷1 (t) = D1 t cos(ω1 t).
x( 2l −x)
, 0 ≤ x ≤ 2l ,
f (x) = u(x, 0) = h
l Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (26) ïîëó÷àåì
0, 2 ≤ x≤ 0
F (x) = u′t (x, 0) = 0. δn 2gl2(1 − (−1)n ) 1
Dn = 2 = − ,
ωn2 − ω1 v2 π3 n n2 − 1
Íà÷àëüíàÿ îðìà ñòðóíû èçîáðàæåíà íà èñ. 1. Ïî îðìóëå (18) δ1 2gl
íàõîäèì ñïåêòð ïëîòíîñòè ñèëû: D1 = − = .
2ω1 vπ 2
2 l πnx
Z
γn = − g sin(ω1 t) sin( )dx = δn sin(ω1 t), Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, íàõîäèì
l 0 l
2gl2(1 − (−1)n )
ãäå δn = 2g
− πn − (−1) ) è ïî îðìóëàì (21) âû÷èñëÿåì íà÷àëüíûå
(1 n cn = αn cos(ωn t) + {sin(ωn t) − n sin(ω1 t)} ,
v 2 π 3 n2 (n2 − 1)
äàííûå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (20):
2gl2
c1 = α1 cos(ω1 t) + 2 3 {ω1 t cos(ω1 t) − sin(ω1 t)} .
2
Z
x( 2l − x)
l/2
πnx v π
cn (0) = sin( )dx
l 0 h l Òàêèì îáðàçîì, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (8), ïîëó÷àåì
l2 n πn πn o çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû ñ òàêèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè
= 4 − 4 cos( ) − πn sin( ) = αn ,
hπ 3 n3 2 2 ∞
2
Z l
πnx vπ l2 X 1 n πn πn o πnx
c′n (0) = F (x) sin( )dx = βn = 0. u(x, t) = 4 − 4 cos( ) − πn sin( ) cos(ωn t) sin( )
l 0 l l hπ 3 n=1 n3 2 2 l
∞
Óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîý èöèåíòîâ cn èìååò âèä 2g X 1 − (−1)n πnx
+ {sin(ωn t) − n sin(ω1 t)} sin( )
πω12 n=2 n2 (n2 − 1) l
c′′n (t) + ωn2 cn (t) = δn sin(ω1 t). (26) 2g
+ {ω1 t cos(ω1 t) − sin(ω1 t)} .
Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä (22) è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé πω12
ñóììó îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé ðàñòåò ëèíåéíî
íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ýòî-
ñî âðåìåíåì. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñîì.
ãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü äâà ñëó÷àÿ: ñîâïàäàåò èëè íå
Íà ðèñóíêå 7 èçîáðàæåíî äâèæåíèå ñòðóíû â òå÷åíèè äâóõ ñ ïî-
ñîâïàäàåò ÷àñòîòà âíåøíåé ñèëû ñ îñíîâíîé ÷àñòîòîé ω1 = vπ l èëè ëîâèíîé ïåðèîäîâ. Ëèíåéíàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé òàêîé ñòðóíû ν =
îäíèì èç îáåðòîíîâ ωn = vπn .  äàííîì ñëó÷àå ÷àñòîòà âíåøíåé ñè-
l 1 ö. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà ñòðóíû ðàñòåò ñî âðåìåíåì è
ëû ω1 ñîâïàäàåò ñ îñíîâíîé ÷àñòîòîé è ïîýòîìó óðàâíåíèå ïðè n = 1
çà îäèí ïåðèîä êîëåáàíèé âûðàñòàåò ïî÷òè âäâîå.
íåîáõîäèìî ðåøàòü îòäåëüíî.
Èç îáùåé òåîðèè äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî ÷àñò-
íîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè n 6= 1 íåîáõîäèìî èñêàòü â âèäå
c÷n (t) = Dn sin(ω1 t),
21 22
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
