ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
sin
πx
l
(n +
1
2
)
G(x, t) =
∞
X
n=1
γ
n
(t) sin
πx
l
(n +
1
2
)
,
γ
n
(t) =
2
l
Z
l
0
G(x, t) sin
πx
l
(n +
1
2
)
dx,
u(x, t) =
∞
X
n=1
c
n
(t) sin
πx
l
(n +
1
2
)
c
n
(t)
ω
n+
1
2
=
vπ
l
[n +
1
2
]
c
′′
n
(t) + ω
2
n+
1
2
c
n
(t) = γ
n
(t).
c
n
(0) c
′
n
(0)
u(x, 0) =
∞
X
n=1
c
n
(0) sin
πx
l
(n +
1
2
)
= f(x),
u
′
t
(x, 0) =
∞
X
n=1
c
′
n
(0) sin
πx
l
(n +
1
2
)
= F (x).
c
n
(0) =
2
l
Z
l
0
f(x) sin
πx
l
(n +
1
2
)
dx,
c
′
n
(0) =
2
l
Z
l
0
F (x) sin
πx
l
(n +
1
2
)
dx.
c
n
(t)
c
n
(t) = A
n
cos
πx
l
(n +
1
2
)
+ B
n
sin
πx
l
(n +
1
2
)
+ c
n
(t).
A
n
= c
n
(0) − c
n
(0),
B
n
=
c
′
n
(0) − c
′
n
(0)
ω
n+
1
2
.
cos
πx
l
(n +
1
2
)
G(x, t) =
∞
X
n=1
γ
n
(t) cos
πx
l
(n +
1
2
)
,
γ
n
(t) =
2
l
Z
l
0
G(x, t) cos
πx
l
(n +
1
2
)
dx,
2.6 Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû êîíå÷íîé äëèíû. Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ çàäà÷è â ýòîì ñëó÷àå ñëåäó-
Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2 ). þùàÿ. Âû÷èñëÿåì âíà÷àëå êîý èöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (31) âíåøíåé
ñèëû â ðÿä ïî ñèíóñàì. Çàòåì íàõîäèì íà÷àëüíûå äàííûå ïî îð-
 ýòîì ñëó÷àå ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè ìóëàì (34) è ðåøàåì óðàâíåíèÿ (33) ñ ýòèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè.
ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè sin πx 2 . Ïðåäñòàâèì âûíóæäàþ-
1
l (n + ) Ïîäñòàâëÿåì çàòåì ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ â (32). Ýòî è åñòü èñêîìûé
ùóþ ñèëó â âèäå ðÿäà ïî ýòèì ñîáñòâåííûì óíêöèÿì çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû.
∞ Èç îáùåé òåîðèè îáûêíîâåííûõ íåîäíîðîäíûõ äè åðåíöèàëü-
X πx 1
G(x, t) = γn (t) sin (n + ) , íûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîý èöèåíòàìè
l 2
n=1 ñëåäóåò, ÷òî îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (33) ïðåäñòàâ-
ãäå ëÿåò ñîáîé ñóììó îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ëþáîãî
2 l ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì
πx 1
Z
γn (t) = G(x, t) sin (n + ) dx, (31) ÷åðåç c÷n (t). Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (33) èìååò âèä
l 0 l 2
è ïðåäñòàâèì íàøå ðåøåíèå â âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäà:
πx 1
πx 1
cn (t) = An cos (n + ) + Bn sin (n + ) + c÷n (t).
X∞
πx 1
l 2 l 2
u(x, t) = cn (t) sin (n + ) (32)
n=1
l 2 Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå äàííûå, ëåãêî ïîëó÷àåì
ñ íåèçâåñòíûìè óíêöèÿìè cn (t). Ýòè óíêöèè óäîâëåòâîðÿþò äè - An = cn (0) − c÷n (0),
åðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì âòîðîãî ïîðÿäêà (ωn+ 21 = vπ ÷
l [n + 2 ])
1
c′n (0) − c′ n (0)
Bn = .
ωn+ 12
c′′n (t) + 2
ωn+ 1 cn (t) = γn (t). (33)
2
Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü ñëó÷àé ñîâïà-
×òîáû ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, äåíèÿ ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû ñ ÷àñòîòîé îñíîâíîãî òîíà èëè êàêîãî-
ò.å. íåîáõîäèìî çàäàòü cn (0) è c′n (0). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íà÷àëü- ëèáî îáåðòîíà.
íûå óñëîâèÿ
∞ 2.7 Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû êîíå÷íîé äëèíû.
X πx 1 Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2d).
u(x, 0) = cn (0) sin (n + ) = f (x),
n=1
l 2
X∞
πx 1
 ýòîì ñëó÷àå ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè
ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè: cos πx 1
. Ïðåäñòàâèì âûíóæäàþ-
′ ′
ut (x, 0) = cn (0) sin (n + ) = F (x). l (n + 2 )
l 2
n=1 ùóþ ñèëó â âèäå ðÿäà ïî ýòèì ñîáñòâåííûì óíêöèÿì
Îòñþäà ïîëó÷àåì âåëè÷èíó íà÷àëüíûõ äàííûõ X∞
πx 1
G(x, t) = γn (t) cos (n + ) ,
2 l l 2
πx 1
Z
cn (0) = f (x) sin (n + ) dx, (34a) n=1
l 0 l 2 ãäå
Z l l
2 πx 1 2 πx 1
Z
c′n (0) = F (x) sin (n + ) dx. (34b) γn (t) = G(x, t) cos (n + ) dx, (35)
l 0 l 2 l 0 l 2
25 26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
