Уравнения математической физики. Уравнение колебаний струны. Хуснутдинов Н.Р. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0.25 0.5 0.75 1
x
- 4
- 2
2
4
u
t= 0 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 4
- 2
2
4
u
t= 0.5 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 4
- 2
2
4
u
t= 1 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 4
- 2
2
4
u
t= 1.5 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 4
- 2
2
4
u
t= 2 cek
0.25 0.5 0.75 1
x
- 4
- 2
2
4
u
t= 2.5 cek
v = 2 / , l =
1
, h = (4 − π)/π
3
g = 9.8 /
2
cos(
πnx
l
)
G(x, t) =
∞
X
n=1
γ
n
(t) cos(
πnx
l
),
γ
n
(t) =
2
l
Z
l
0
G(x, t) cos(
πnx
l
)dx,
u(x, t) =
∞
X
n=1
c
n
(t) cos(
πnx
l
)
c
n
(t)
c
′′
n
(t) + ω
2
n
c
n
(t) = γ
n
(t).
c
n
(0) c
′
n
(0)
u(x, 0) =
∞
X
n=1
c
n
(0) cos(
πnx
l
) = f (x),
u
′
t
(x, 0) =
∞
X
n=1
c
′
n
(0) cos(
πnx
l
) = F (x).
c
n
(0) =
2
l
Z
l
0
f(x) cos(
πnx
l
)dx,
c
′
n
(0) =
2
l
Z
l
0
F (x) cos(
πnx
l
)dx.
c
n
(t)
c
n
(t) = A
n
cos(ω
n
t) + B
n
sin(ω
n
t) + c
n
(t).
A
n
= c
n
(0) − c
n
(0),
B
n
=
c
′
n
(0) − c
′
n
(0)
ω
n
.
      u                                   u                                   u                                    ×òîáû ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ,
   4                                      4                                   4

   2                   t=0 cek            2                t=0.5 cek          2                t=1 cek             ò.å. íåîáõîäèìî çàäàòü cn (0) è c′n (0). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íà÷àëü-
                                     x                                   x                                     x   íûå óñëîâèÿ
          0.25   0.5    0.75       1          0.25   0.5    0.75       1          0.25   0.5    0.75       1
                                                                                                                                                ∞
  -2                                     -2                                  -2                                                                 X                    πnx
  -4                                     -4                                  -4                                                   u(x, 0) =           cn (0) cos(        ) = f (x),
      u                                   u                                   u                                                                 n=1
                                                                                                                                                                      l
   4                                      4                                   4
                                                                                                                                                 ∞
   2                   t=1.5 cek          2                t=2 cek            2                t=2.5 cek                                        X                    πnx
                                                                                                                                 u′t (x, 0) =         c′n (0) cos(       ) = F (x).
          0.25   0.5    0.75       1
                                     x        0.25   0.5    0.75       1
                                                                         x        0.25   0.5    0.75       1
                                                                                                             x
                                                                                                                                                n=1
                                                                                                                                                                      l
  -2                                     -2                                  -2

  -4                                     -4                                  -4
                                                                                                                   Îòñþäà ïîëó÷àåì âåëè÷èíó íà÷àëüíûõ äàííûõ
                                                                                                                                            2 l             πnx
                                                                                                                                              Z
èñ. 7: Ôîðìà ñòðóíû â òå÷åíèè äâóõ ñ ïîëîâèíîé ïåðèîäîâ. Ñòðóíà çàêðåïëåíà                                                       cn (0) =       f (x) cos(     )dx,                  (30a)
íà êîíöàõ è íàõîäèòñÿ â ïîëå ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû, ÷àñòîòà êîòîðîé ñîâïàäàåò
                                                                                                                                            l 0              l
                                                                                         v = 2ì/ñåê, l =                                    2 l             πnx
                                                                                                                                              Z
ñ îñíîâíûì òîíîì. Âûáðàíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ:
1ì, h = (4 − π)/π 3 ì      è   g = 9.8ì/ñåê2 .                                                                                    c′n (0) =      F (x) cos(     )dx.                  (30b)
                                                                                                                                            l 0               l
                                                                                                                      Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ çàäà÷è â ýòîì ñëó÷àå ñëåäó-
 2.5       Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû êîíå÷íîé äëèíû.                                                            þùàÿ. Âû÷èñëÿåì âíà÷àëå êîýèöèåíòû (27) ðàçëîæåíèÿ âíåøíåé
                Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2b).                                                                 ñèëû â ðÿä ïî ñèíóñàì. Çàòåì íàõîäèì íà÷àëüíûå äàííûå ïî îð-
                                                                                                                   ìóëàì (30) è ðåøàåì óðàâíåíèÿ (29) ñ ýòèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè.
    îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ îïèñû-                                                      Ïîäñòàâëÿåì çàòåì ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ â (28). Ýòî è åñòü èñêîìûé
âàþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè cos( πnx
                                    l ). Ïîýòîìó ïðåäñòàâèì âû-                                                    çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû.
íóæäàþùóþ ñèëó â âèäå ðÿäà ïî ýòèì ñîáñòâåííûì óíêöèÿì                                                               Èç îáùåé òåîðèè îáûêíîâåííûõ íåîäíîðîäíûõ äèåðåíöèàëü-
                                               ∞                                                                   íûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè
                                               X                   πnx                                             ñëåäóåò, ÷òî îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (29) ïðåäñòàâ-
                               G(x, t) =             γn (t) cos(       ),
                                               n=1
                                                                    l                                              ëÿåò ñîáîé ñóììó îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ëþáîãî
ãäå                                                                                                                ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì
                         2 l
                          Z
                                          πnx                                                                      ÷åðåç c÷n (t). Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (29) èìååò âèä
                γn (t) =     G(x, t) cos(     )dx,                                                       (27)
                         l 0               l                                                                                     cn (t) = An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t) + c÷n (t).
è ïðåäñòàâèì íàøå ðåøåíèå â âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäà:                                                                  Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå äàííûå, ëåãêî ïîëó÷àåì
                                                                                                                                            = cn (0) − c÷n (0),
                                               ∞
                                               X                     πnx                                                                  An
                                 u(x, t) =           cn (t) cos(         )                               (28)                                                ÷
                                               n=1
                                                                      l                                                                         c′n (0) − c′ n (0)
                                                                                                                                       Bn =                        .
                                                                                                                                                        ωn
ñ íåèçâåñòíûìè óíêöèÿìè cn (t). Ýòè óíêöèè óäîâëåòâîðÿþò äè-
                                                                                                                      Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü ñëó÷àé ñîâïà-
åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà
                                                                                                                   äåíèÿ ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû ñ ÷àñòîòîé îñíîâíîãî òîíà èëè êàêîãî-
                                     c′′n (t) + ωn2 cn (t) = γn (t).                                     (29)      ëèáî îáåðòîíà.


                                                 23                                                                                               24 

Страницы