Уравнения математической физики. Уравнение колебаний струны. Хуснутдинов Н.Р. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

u(x, t) =
∞
X
n=1
c
n
(t) cos
πx
l
(n +
1
2
)
c
n
(t)
c
′′
n
(t) + ω
2
n+
1
2
c
n
(t) = γ
n
(t).
c
n
(0) c
′
n
(0)
u(x, 0) =
∞
X
n=1
c
n
(0) cos
πx
l
(n +
1
2
)
= f(x),
u
′
t
(x, 0) =
∞
X
n=1
c
′
n
(0) cos
πx
l
(n +
1
2
)
= F (x).
c
n
(0) =
2
l
Z
l
0
f(x) cos
πx
l
(n +
1
2
)
dx,
c
′
n
(0) =
2
l
Z
l
0
F (x) cos
πx
l
(n +
1
2
)
dx.
c
n
(t)
c
n
(t) = A
n
cos
πx
l
(n +
1
2
)
+ B
n
sin
πx
l
(n +
1
2
)
+ c
n
(t).
A
n
= c
n
(0) − c
n
(0),
B
n
=
c
′
n
(0) − c
′
n
(0)
ω
n+
1
2
.
u(x, t) = w(x, t) + U(x, t)
U(x, t) w(x, t)
U(x, t) = φ(t) + [ψ(t) − φ(t)]
x
l
w(0, t) = u(0, t) − U (0, t) = φ(t) − φ(t) = 0,
w(l, t) = u(l, t) − U (l, t) = ψ(t) − ψ(t) = 0,
w(x, t)
è ïðåäñòàâèì íàøå ðåøåíèå â âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäà:                         ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì
                              ∞                                         ÷åðåç c÷n (t). Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (37) èìååò âèä
                              X              πx     1
                    u(x, t) =     cn (t) cos    (n + )             (36)                         
                                                                                                  πx     1
                                                                                                                    
                                                                                                                       πx     1
                                                                                                                                
                              n=1
                                              l     2                           cn (t) = An cos      (n + ) + Bn sin      (n + ) + c÷n (t).
                                                                                                   l     2              l     2
ñ íåèçâåñòíûìè óíêöèÿìè cn (t). Ýòè óíêöèè óäîâëåòâîðÿþò äè-
                                                                          Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå äàííûå, ëåãêî ïîëó÷àåì
åðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì âòîðîãî ïîðÿäêà
                                                                                                 An    = cn (0) − c÷n (0),
                                    2
                        c′′n (t) + ωn+ 1 cn (t) = γn (t).          (37)
                                      2
                                                                                                         c′n (0) − c′ ÷n (0)
                                                                                                 Bn    =                     .
×òîáû ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ,                                                ωn+ 12
ò.å. íåîáõîäèìî çàäàòü cn (0) è c′n (0). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íà÷àëü-
íûå óñëîâèÿ                                                                  Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü ñëó÷àé ñîâïà-
                                                                          äåíèÿ ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû ñ ÷àñòîòîé îñíîâíîãî òîíà èëè êàêîãî-
                            ∞
                                                                          ëèáî îáåðòîíà.
                                                     
                            X                πx     1
            u(x, 0) =           cn (0) cos      (n + ) = f (x),
                            n=1
                                              l     2
                             ∞                                          2.8    Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû êîíå÷íîé äëèíû.
                            X                πx     1                                Íåîäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (3a).
           u′t (x, 0)   =        ′
                                cn (0) cos      (n + ) = F (x).
                            n=1
                                              l     2
                                                                              ýòîì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ çàìåíû óíêöèè çàäà÷ó ìîæíî ñâåñòè
Îòñþäà ïîëó÷àåì âåëè÷èíó íà÷àëüíûõ äàííûõ                                 ê ðåøåííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Äåéñòâèòåëüíî, ñäåëàåì çàìåíó
                                                                          èñêîìîé óíêöèè
                      2 l
                                                  
                                        πx      1
                        Z
            cn (0) =        f (x) cos       (n + ) dx,            (38a)
                      l 0                l      2                                                u(x, t) = w(x, t) + U (x, t)              (39)
                        Z l                       
                      2                 πx       1
             ′
            cn (0) =        F (x) cos       (n + ) dx.            (38b)   è ïîäáåðåì óíêöèþ U (x, t) òàê, ÷òîáû íîâàÿ óíêöèÿ w(x, t) óäî-
                      l 0                 l      2                        âëåòâîðÿëà áû îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2a). Ëåãêî âèäåòü,
   Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ çàäà÷è â ýòîì ñëó÷àå ñëåäó-           ÷òî óíêöèÿ
                                                                                                                            x
þùàÿ. Âû÷èñëÿåì âíà÷àëå êîýèöèåíòû (35) ðàçëîæåíèÿ âíåøíåé                                U (x, t) = φ(t) + [ψ(t) − φ(t)]
                                                                                                                            l
ñèëû â ðÿä ïî ñèíóñàì. Çàòåì íàõîäèì íà÷àëüíûå äàííûå ïî îð-
                                                                          óäîâëåòâîðÿåò òðåáóåìûì óñëîâèÿì. Äåéñòâèòåëüíî
ìóëàì (38), è ðåøàåì óðàâíåíèÿ (37) ñ ýòèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè.
Ïîäñòàâëÿåì çàòåì ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ â (36). Ýòî è åñòü èñêîìûé                      w(0, t) =     u(0, t) − U (0, t) = φ(t) − φ(t) = 0,
çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû.
                                                                                     w(l, t) =     u(l, t) − U (l, t) = ψ(t) − ψ(t) = 0,
   Èç îáùåé òåîðèè îáûêíîâåííûõ íåîäíîðîäíûõ äèåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè                ò.å. óíêöèÿ w(x, t) óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâè-
ñëåäóåò, ÷òî îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (37) ïðåäñòàâ-         ÿì. àññìîòðèì äàëåå, êàêèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò
ëÿåò ñîáîé ñóììó îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ëþáîãî


                                    27                                                                   28 

Страницы