ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
µ
µ =
πn
l
, n = 1, 2, 3, . . . ,
X(x) = 2ic
1
sin(
πnx
l
).
λ = −µ
2
= −π
2
n
2
/l
2
T
′′
−
vπn
l
2
T = 0,
T (t) = c
3
cos(
vπnt
l
) + c
4
sin(
vπnt
l
).
α
n
= 2ic
1
c
3
β
n
= 2ic
1
c
4
λ = −π
2
n
2
/l
2
u
n
(x, t) =
α
n
cos(
vπnt
l
) + β
n
sin(
vπnt
l
)
sin(
πnx
l
).
n
n = 1
ω
1
= vπ/l n > 1
ω
n
= nω
1
= nvπ/l
u(x, t) =
∞
X
n=1
[α
n
cos(ω
n
t) + β
n
sin(ω
n
t)] sin(
πnx
l
).
α
n
β
n
u(x, 0) =
∞
X
n=1
α
n
sin(
πnx
l
) = f(x),
u
′
t
(x, 0) =
∞
X
n=1
β
n
vπn
l
sin(
πnx
l
) = F (x).
0.25 0.5 0.75 1
x
- 2
- 1
1
2
u
t= 0 cek
f(x)
x = 0 x = l
F (x) = 0
α
n
=
2
l
Z
l
0
f(x) sin(
πnx
l
)dx,
β
n
=
2
vπ
Z
l
0
F (x) sin(
πnx
l
)dx.
l
x = 0 x = l
f(x) = u(x, 0) =
(
x(
l
2
−x)
h
, 0 ≤ x ≤
l
2
0,
l
2
≤ x ≤ 0
,
F (x) = u
′
t
(x, 0) = 0.
α
n
=
2
l
Z
l/2
0
x(
l
2
− x)
h
sin(
πnx
l
)dx
=
l
2
hπ
3
n
3
n
4 − 4 cos(
πn
2
) − πn sin(
πn
2
)
o
,
β
n
=
2
vπ
Z
l
0
F (x) sin(
πnx
l
)dx = 0.
u(x, t) =
l
2
hπ
3
∞
X
n=1
1
n
3
n
4 − 4 cos(
πn
2
) − πn sin(
πn
2
)
o
∞
òîëüêî çíàêîì, è ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîëîæè- X vπn πnx
u′t (x, 0) = βn sin( ) = F (x).
òåëüíûå çíà÷åíèÿ µ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñïåêòð è ñîáñòâåííóþ l l
n=1
óíêöèþ
πn u Ïðèâåäåííûå âûøå îðìóëû ÿâëÿþòñÿ
µ= , n = 1, 2, 3, . . . , ðÿäàìè Ôóðüå ïî ñèíóñàì, è ïîýòîìó ïî-
l 2 t=0 cek
πnx 1 ëó÷àåì
X(x) = 2ic1 sin( ).
l x
0.25 0.5 0.75 1
2 l πnx
Z
Ïîäñòàâèì òåïåðü ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå λ = −µ2 = −π 2 n2 /l2 â
-1
αn = f (x) sin( )dx, (9a)
l 0 l
(5a). Ïîëó÷èì óðàâíåíèå
-2
Z l
2 πnx
vπn 2
èñ. 1: βn = F (x) sin( )dx. (9b)
T ′′ − T = 0, Íà÷àëüíàÿ îðìà vπ 0 l
l f (x) ñòðóíû, çàêðåïëåííîé â
ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä òî÷êàõ x=0 è x = l. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå íàøåé çàäà÷è
Íà÷àëü-
íàÿ ñêîðîñòü êàæäîé òî÷êè
ñòðóíû îòñóòñòâóåò F (x) = 0.
èìååò âèä (8), â êîòîðîì êîíñòàíòû äàþò-
vπnt vπnt
T (t) = c3 cos( ) + c4 sin( ). ñÿ îðìóëàìè (9).
l l Ïðèìåð 1. àññìîòðèì ñòðóíó äëèíîé l , çàêðåïëåííóþ â òî÷êàõ
Îáîçíà÷èì αn = 2ic1 c3 è βn = 2ic1 c4 . Òîãäà ïîëó÷àåì ÷àñòíîå ðåøå- x = 0 è x = l, è ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
íèå, ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèþ λ = −π 2 n2 /l2 , (
x( 2l −x)
vπnt vπnt
πnx f (x) = u(x, 0) = h , 0 ≤ x ≤ 2l ,
un (x, t) = αn cos( ) + βn sin( ) sin( ). l
0, 2 ≤ x≤ 0
l l l
F (x) = u′t (x, 0) = 0.
Äëÿ êàæäîãî n ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ êî-
ëåáàíèÿ ñòðóíû, íîñèò íàçâàíèå ìîäû è óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì Íà÷àëüíàÿ îðìà ñòðóíû èçîáðàæåíà íà èñ. 1. Ïî îðìóëàì (9)
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2a). Ïðè n = 1 ìîäà íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì òî- ïîëó÷àåì:
íîì, ÷àñòîòà êîëåáàíèé êîòîðîãî ω1 = vπ/l , à ïðè n > 1 îáåðòîíîì
÷àñòîòû ωn = nω1 = nvπ/l. Ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ îäíîðîäíûõ 2 l/2 x( 2l − x) πnx
Z
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðåøåíèé ñíîâà ÿâëÿåòñÿ αn = sin( )dx
l 0 h l
ðåøåíèåì, óäîâëåòâîðÿþùèì òåì æå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, òî ìîæ- l2 n πn πn o
íî ïðåäñòàâèòü îáùåå ðåøåíèå â âèäå = 4 − 4 cos( ) − πn sin( ) ,
hπ 3 n3 2 2
∞ Z l
X πnx 2 πnx
u(x, t) = [αn cos(ωn t) + βn sin(ωn t)] sin( ). (8) βn = F (x) sin( )dx = 0.
l vπ 0 l
n=1
×òîáû íàéòè êîíñòàíòû αn è βn íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü íà- Òàêèì îáðàçîì, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (8), ïîëó÷àåì
÷àëüíûå óñëîâèÿ (1). Ýòî äàåò äâà ñîîòíîøåíèÿ çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû ñ òàêèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè
∞ ∞
X πnx l2 X 1 n πn πn o
u(x, 0) = αn sin( ) = f (x), u(x, t) = 3 3
4 − 4 cos( ) − πn sin( )
n=1
l hπ n=1 n 2 2
7 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
