ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
x
u
′
x
(0, t) = α(t), u
′
x
(l, t) = β(t).
u(0, t) = φ(t), u
′
x
(l, t) = β(t),
u
′
x
(0, t) = α(t), u(l, t) = ψ(t).
∂
2
u
∂t
2
− v
2
∂
2
u
∂x
2
= 0.
u(x, t)
u(x, t) = X(x) · T (t).
X(x) · T (t)
T
′′
v
2
T
=
X
′′
X
.
t
x
λ
T
′′
v
2
T
= λ,
X
′′
X
= λ.
λ
X(x) = c
1
e
x
√
λ
+ c
2
e
−x
√
λ
.
c
1
c
2
c
1
+ c
2
= 0,
c
1
e
l
√
λ
+ c
2
e
−l
√
λ
= 0.
1 1
e
l
√
λ
e
−l
√
λ
= e
−l
√
λ
− e
l
√
λ
= 0.
λ
λ = 0
X = 0 λ < 0
λ = −µ
2
sin(µl) = 0.
µ = 0, ±
π
l
,
±
2π
l
, . . .
c
2
= −c
1
X(x) = 2ic
1
sin(µx).
µ = 0
X = 0
µ
2. Êîíöû ñòðóíû äâèæóòñÿ ñ çàäàííûì çàêîíîì óãëà íàêëî- óíêöèè ðàâíû ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå λ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
íà â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè x: äâà îáûêíîâåííûõ äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ
u′x (0, t) = α(t), u′x (l, t) = β(t). (3b) T ′′
= λ, (5a)
v2 T
3. àññìîòðèì òàêæå êîìáèíàöèþ óñëîâèé (3a) è (3b). Ëåâûé X ′′
êðàé ñòðóíû äâèæåòñÿ, à íà ïðàâîì çàäàí çàêîí èçìåíåíèÿ = λ. (5b)
X
óãëà íàêëîíà:
Íà äàííîì ýòàïå íàì íè÷åãî íå èçâåñòíî î êîíñòàíòå λ. Îíà ìîæåò
u(0, t) = φ(t), u′x (l, t) = β(t), (3 ) áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé. Îáùåå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5b) èìååò ñëåäóþùèé âèä:
è, íàîáîðîò, ïðàâûé êðàé ñòðóíû äâèæåòñÿ, à íà ëåâîì √ √
çàäàí çàêîí èçìåíåíèÿ óãëà íàêëîíà: X(x) = c1 ex λ
+ c2 e−x λ
. (6)
u′x (0, t) = α(t), u(l, t) = ψ(t). (3d) Íàøå ðåøåíèå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2a). Ýòî
äàåò ëèíåéíóþ ñèñòåìó èç äâóõ óðàâíåíèé íà êîíñòàíòû c1 è c2 :
2 ÅØÅÍÈÅ Ó ÀÂÍÅÍÈß ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÒ ÓÍÛ
c + c2 √ = 0,
ÌÅÒÎÄÎÌ ÔÓ ÜÅ √ 1
l λ −l λ
c1 e + c2 e = 0.
2.1 Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû êîíå÷íîé äëèíû.
Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî
Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2a).
òîãäà, êîãäà ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ðàâåí íóëþ:
Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû îïèñûâàþòñÿ îäíîðîäíûì óðàâíå- 1 1 √ √
íèåì
√
l λ
√
−l λ = e−l λ
− el λ
= 0. (7)
e e
∂2u 2
2∂ u
− v = 0. (4)
∂t2 ∂x2 Åñëè λ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé, òî ðåøåíèåì ýòîãî óðàâ-
Ïðåäñòàâèì âíà÷àëå óíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ u(x, t) â âèäå ïðî- íåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òîëüêî òðèâèàëüíîå, λ = 0. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðè-
èçâåäåíèÿ äâóõ óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé: âîäèò ê òðèâèàëüíîìó ðåøåíèþ X = 0. Åñëè æå λ < 0, òî ñèòóàöèÿ
ìåíÿåòñÿ. Îáîçíà÷èì λ = −µ2 . Òîãäà óðàâíåíèå (7) ïðåîáðàçóåòñÿ ê
u(x, t) = X(x) · T (t). âèäó
sin(µl) = 0.
Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ ñòðóíû (4), çàòåì
ðàçäåëèì îáå ÷àñòè íà X(x) · T (t). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî åøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, íàçûâàåìîå ñïåêòðîì, èìååò âèä µ = 0, ± πl ,
l , . . . è ïðè ýòîì c2 = −c1 . Ïîäñòàâëÿÿ ñïåêòð â óðàâíåíèå (6), ïî-
± 2π
T ′′ X ′′ ëó÷àåì
= .
v2 T X X(x) = 2ic1 sin(µx).
Âûðàæåíèå ñëåâà ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé òîëüêî ïåðåìåííîé t, à ñïðà- Îòñþäà âèäíî, ÷òî µ = 0 ïðèâîäèò ê òðèâèàëüíîìó ðåøåíèþ
âà óíêöèåé òîëüêî ïåðåìåííîé x. àâåíñòâî óíêöèé äâóõ íåçà- X = 0. Ïîýòîìó ýòî çíà÷åíèå íàäî èñêëþ÷èòü. Îòðèöàòåëüíûå è ïî-
âèñèìûõ ïåðåìåííûõ âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îáå ýòè ëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ µ ïðèâîäÿò ê ðåøåíèÿì, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ
5 6
