Уравнения математической физики. Уравнение теплопроводности. Хуснутдинов Н.Р. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
m
=
2
l
Z
l
0
F (x) cos
πx(2m − 1)
2l
dx.
u(x, t) = T
l
+
∞
X
n=1
A
n
e
−λ
2
n
a
2
t
cos
πx(2n − 1)
2l
.
λ
n
=
π(2n−1)
2l
6= 0
t → ∞
lim
t→∞
u(x, t) = T
l
.
T
l
T
i
f(x) = T
i
A
n
=
2
l
Z
l
0
(T
i
− T
l
) cos
πx(2n − 1)
2l
dx
= −
4(−1)
n
π(2n − 1)
(T
i
− T
l
).
u(x, t) = T
l
− (T
i
− T
l
)
4
π
∞
X
n=1
(−1)
n
(2n − 1)
e
−λ
2
n
a
2
t
cos
πx(2n − 1)
2l
.
t
∗
=
4l
2
/π
2
a
2
T
l
T
i
, t, x
u(x, t)/T
l
= 1 − (T
i
− 1)
4
π
∞
X
n=1
(−1)
n
(2n − 1)
e
−(2n−1)
2
t
cos
πx(2n − 1)
2
.
0.5 1
x
1
2
3
4
5
u T
l
/
T
l
t
∗
= 4l
2
/π
2
a
2
T
l
t = 10
T
l
T
′
0
T
0
= −T
′
0
k
0
/h
0
h
l
→ ∞ h
0
→ 0
α = T
l
− lT
′
0
β = T
′
0
u(x, t) = T
l
+ T
′
0
(x − l) +
∞
X
n=1
A
n
e
−λ
2
n
a
2
t
cos
πx(2n − 1)
2l
.
λ
n
=
π(2n−1)
2l
6= 0
è                                                                                     u/Tl
                                    l
                          2                       πx(2m − 1)
                              Z
                   Am   =               F (x) cos            dx.
                          l     0                     2l                              5
åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
                                  ∞
                                                                πx(2n − 1)
                                                                                      4
                                                −λ2n a2 t
                                  X
               u(x, t) = Tl +            An e               cos            .
                                  n=1
                                                                    2l                3
   Ïîñêîëüêó âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λn = π(2n−1)  6= 0, òî ïî
                                               2l
èñòå÷åíèè áîëüøîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, t → ∞, ïîëó÷àåì:
                                                                                      2
                                  lim u(x, t) = Tl .
                                t→∞
                                                                                      1
Äðóãèìè ñëîâàìè, òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ïî âñåé åãî äëèíå ñòàíîâèò-                                                                                              x
ñÿ ðàâíîé òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû Tl .
   Ïóñòü ñòåðæåíü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè áûë íàãðåò ðàâíî-
                                                                                                                     0.5                               1
ìåðíî ïî âñåé ñâîåé äëèíå ñ òåìïåðàòóðîé Ti : f (x) = Ti . Òîãäà               èñ. 1: Íà ðèñóíêå ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ñòåðæíÿ îò âðåìåíè â
                                                                               åäèíèöàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà Tl . Çà åäèíèöó âðåìåíè ïðèíÿòà âåëè÷èíà
                       2 l                πx(2n − 1)                           t∗ = 4l2 /π 2 a2 , à çà åäèíèöó äëèíû  äëèíà ñòåðæíÿ. Á
                                                                                                                                       îëüøàÿ òîëùèíà ëèíèè
                        Z
              An =         (Ti − Tl ) cos            dx                        ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåìó ìîìåíòó âðåìåíè.
                       l 0                    2l
                         4(−1)n
                   = −            (Ti − Tl ).
                        π(2n − 1)                                              òåìïåðàòóðå Tl , â òî âðåìÿ êàê òåìïåðàòóðà âäîëü ñòåðæíÿ ïàäàåò
                                                                               è óæå äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 10 ïðàêòè÷åñêè âåñü ñòåðæåíü èìååò
åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:                                                   òåìïåðàòóðó, ðàâíóþ òåìïåðàòóðå ïðàâîãî êîíöà.
                                     ∞                                            Ïðèìåð 2. Íà ïðàâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿí-
                                  4 X (−1)n −λ2n a2 t     πx(2n − 1)
      u(x, t) = Tl − (Ti − Tl )                  e    cos            .         íàÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû Tl , à íà
                                  π n=1 (2n − 1)              2l
                                                                               ëåâîì êîíöå òåìïåðàòóðà ìåíÿåòñÿ, íî ñ ïîñòîÿííûì íåíóëåâûì ãðà-
                                                                               äèåíòîì, ðàâíûì T0′ . Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòèõ óñëîâèé çàìåíèì âíà÷àëå
Äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà óäîáíî èçìåðÿòü âðåìÿ â åäèíèöàõ t∗ =
                                                                               T0 = −T0′ k0 /h0 , à çàòåì óñòðåìèì hl → ∞ è h0 → 0.  ýòîì ñëó÷àå
4l2 /π 2 a2 , äëèíó â åäèíèöàõ äëèíû ñòåðæíÿ, à òåìïåðàòóðó â åäèíè-
                                                                               ïîëó÷àåì, ÷òî α = Tl − lT0′ è β = T0′ . Èç óðàâíåíèÿ (5) ïîëó÷àåì
öàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà Tl . Â ýòèõ åäèíèöàõ Ti , t, x ÿâëÿþòñÿ
                                                                               òàêîé æå ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå.
áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, è ìû ïîëó÷àåì ðàñ÷åòíóþ îðìóëó:
                                                                                èòîãå ðåøåíèå çàäà÷è èìååò ñëåäóþùèé âèä:
                                 ∞
                              4 X (−1)n −(2n−1)2 t     πx(2n − 1)                                                         ∞
    u(x, t)/Tl = 1 − (Ti − 1)                e     cos            .                                                       X            2   2      πx(2n − 1)
                              π n=1 (2n − 1)               2                           u(x, t) = Tl +   T0′ (x   − l) +         An e−λn a t cos              .
                                                                                                                          n=1
                                                                                                                                                      2l
   ×èñëåííûé àíàëèç ýòîé îðìóëû èçîáðàæåí íà èñ. 1. Ñ òå÷å-
                                                                                                                                                  π(2n−1)
íèåì âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïðàâîãî êîíöà íå ìåíÿåòñÿ è ðàâíÿåòñÿ                    Ïîñêîëüêó âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λn =                            2l     6= 0, òî ïî

                                          7                                                                         8

Страницы