ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
t → ∞
lim
t→∞
u(x, t) = T
l
+ T
′
0
(x − l).
x = l
T
l
x = 0 T
l
−T
′
0
l < T
l
T
′
0
> 0
T
i
f(x) = T
i
A
n
=
2
l
Z
l
0
(T
i
− T
l
+ T
′
0
(l − x)) cos
πx(2n − 1)
2l
dx
= −
4(−1)
n
(T
i
− T
l
)
π(2n − 1)
+
8lT
′
0
π
2
(2n − 1)
2
.
u(x, t) = T
l
+ T
′
0
(x − l) +
∞
X
n=1
−
4(−1)
n
(T
i
− T
l
)
π(2n − 1)
+
8lT
′
0
π
2
(2n − 1)
2
e
−λ
2
n
a
2
t
cos
πx(2n − 1)
2l
.
t
∗
=
4l
2
/π
2
a
2
T
i
, T
′
0
, t, x
u(x, t)/T
l
= 1 + T
′
0
(x − 1) +
∞
X
n=1
−
4(−1)
n
(T
i
− 1)
π(2n − 1)
+
8T
′
0
π
2
(2n − 1)
2
e
−(2n−1)
2
t
cos
πx(2n − 1)
2
.
T
l
0.5 1
x
- 1
1
2
3
4
5
u
/
T
l
‘
T
l
t
∗
= 4l
2
/π
2
a
2
t = 10
T
′
0
T
l
T
0
h
l
→ ∞ h
0
→ ∞ α = T
0
β = T
l
− T
0
tg λ
n
l = 0
λ
n
=
πn
l
, n = 1, 2, . . . .
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
+
∞
X
n=1
A
n
e
−λ
2
n
a
2
t
sin
πxn
l
,
A
n
=
2
l
Z
l
0
F (x) sin
πxn
l
dx.
èñòå÷åíèè áîëüøîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, t → ∞, ïîëó÷àåì: u/Tl
t→∞
lim u(x, t) = Tl + T0′ (x − l). 5
Äðóãèìè ñëîâàìè, òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ïî âñåé åãî äëèíå ëèíåéíî
4
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ íà ñòåðæíå. Íà ïðàâîé ãðàíèöå, ïðè x = l, 3
ïîëó÷àåì, ÷òî òåìïåðàòóðà ðàâíà òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû
Tl , â òî âðåìÿ êàê íà ëåâîé ãðàíèöå, ïðè x = 0, ïîëó÷àåì Tl −T0′ l < Tl 2
ïðè óñëîâèè T0′ > 0.
Ïóñòü ñòåðæåíü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè áûë íàãðåò ðàâíî-
1
ìåðíî ïî âñåé ñâîåé äëèíå äî òåìïåðàòóðû Ti : f (x) = Ti . Òîãäà x
2
Z l
πx(2n − 1) - 1 0.5 ‘ 1
An = (Ti − Tl + T0′ (l
− x)) cos dx
l 0 2l
4(−1)n(Ti − Tl ) 8lT0′ èñ. 2: Íà ðèñóíêå ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ñòåðæíÿ îò âðåìåíè â
= − + 2 . åäèíèöàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà Tl . Çà åäèíèöó âðåìåíè ïðèíÿòà âåëè÷èíà
π(2n − 1) π (2n − 1)2 t∗ = 4l2 /π 2 a2 , à çà åäèíèöó äëèíû äëèíà ñòåðæíÿ. Á
îëüøàÿ òîëùèíà ëèíèè
ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåìó ìîìåíòó âðåìåíè.
åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
∞
X 4(−1)n (Ti − Tl ) óæå äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 10 âûõîäèò íà ñâîå ïðåäåëüíîå çíà÷å-
u(x, t) = Tl + T0′ (x
− l) + −
n=1
π(2n − 1) íèå ñ óãëîì íàêëîíà T0′ .
Ïðèìåð 3. Íà ïðàâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿí-
8lT0′
2 2 πx(2n − 1)
+ 2 2
e−λn a t cos . íàÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû Tl ; íà ëå-
π (2n − 1) 2l
âîì êîíöå ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ òåìïå-
Äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà óäîáíî èçìåðÿòü âðåìÿ â åäèíèöàõ t∗ = ðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû T0 . Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòèõ óñëîâèé óñòðå-
4l /π 2 a2 , äëèíó â åäèíèöàõ äëèíû ñòåðæíÿ, à òåìïåðàòóðó â åäèíè-
2 ìèì hl → ∞ è h0 → ∞.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî α = T0 è
öàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà.  ýòèõ åäèíèöàõ Ti , T0′ , t, x ÿâëÿþò- β = Tl − T0 . Èç óðàâíåíèÿ (5) ïîëó÷àåì ÷òî tg λn l = 0, ÷òî ïðèâîäèò
ñÿ áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, è ìû ïîëó÷àåì ðàñ÷åòíóþ îðìóëó: ê ñïåêòðó:
πn
∞
λn = , n = 1, 2, . . . .
X 4(−1)n (Ti − 1) l
′
u(x, t)/Tl = 1 + T0 (x − 1) + − åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
n=1
π(2n − 1)
′
∞
8T0 2 πx(2n − 1) x X 2 2 πxn
+ 2 2
e−(2n−1) t cos . u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) + An e−λn a t sin ,
π (2n − 1) 2 l n=1 l
×èñëåííûé àíàëèç ýòîé îðìóëû èçîáðàæåí íà èñ. 2. Ñ òå÷å- ãäå
íèåì âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïðàâîãî êîíöà íå ìåíÿåòñÿ è ðàâíÿåòñÿ 2 l
πxn
Z
òåìïåðàòóðå Tl â òî âðåìÿ êàê òåìïåðàòóðà âäîëü ñòåðæíÿ ïàäàåò è An = F (x) sin dx.
l 0 l
9 10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
