Уравнения математической физики. Уравнение теплопроводности. Хуснутдинов Н.Р. - 5 стр.

èñòå÷åíèè áîëüøîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, t → ∞, ïîëó÷àåì:                              u/Tl
                       t→∞
                           lim u(x, t) = Tl + T0′ (x − l).                          5
Äðóãèìè ñëîâàìè, òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ïî âñåé åãî äëèíå ëèíåéíî
                                                                                    4
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ íà ñòåðæíå. Íà ïðàâîé ãðàíèöå, ïðè x = l,                      3
ïîëó÷àåì, ÷òî òåìïåðàòóðà ðàâíà òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû
Tl , â òî âðåìÿ êàê íà ëåâîé ãðàíèöå, ïðè x = 0, ïîëó÷àåì Tl −T0′ l < Tl            2
ïðè óñëîâèè T0′ > 0.
     Ïóñòü ñòåðæåíü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè áûë íàãðåò ðàâíî-
                                                                                    1
ìåðíî ïî âñåé ñâîåé äëèíå äî òåìïåðàòóðû Ti : f (x) = Ti . Òîãäà                                                                                   x
                   2
                       Z    l
                                                πx(2n − 1)                       - 1                                 0.5                   ‘   1
         An   =        (Ti − Tl +         T0′ (l
                                      − x)) cos            dx
                   l 0                               2l
                    4(−1)n(Ti − Tl )      8lT0′                            èñ. 2: Íà ðèñóíêå ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ñòåðæíÿ îò âðåìåíè â
              =   −                  + 2           .                       åäèíèöàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà Tl . Çà åäèíèöó âðåìåíè ïðèíÿòà âåëè÷èíà
                       π(2n − 1)       π (2n − 1)2                         t∗ = 4l2 /π 2 a2 , à çà åäèíèöó äëèíû  äëèíà ñòåðæíÿ. Á

                                                                                                                                   îëüøàÿ òîëùèíà ëèíèè
                                                                           ñîîòâåòñòâóåò á
îëüøåìó ìîìåíòó âðåìåíè.
åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
                                         ∞ 
                                        X        4(−1)n (Ti − Tl )         óæå äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 10 âûõîäèò íà ñâîå ïðåäåëüíîå çíà÷å-
         u(x, t) =     Tl +     T0′ (x
                                 − l) +        −
                                        n=1
                                                    π(2n − 1)              íèå ñ óãëîì íàêëîíà T0′ .
                                                                              Ïðèìåð 3. Íà ïðàâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿí-
                           8lT0′
                                    
                                         2 2       πx(2n − 1)
                  +      2        2
                                      e−λn a t cos            .            íàÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû Tl ; íà ëå-
                       π (2n − 1)                      2l
                                                                           âîì êîíöå ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ òåìïå-
   Äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà óäîáíî èçìåðÿòü âðåìÿ â åäèíèöàõ t∗ =            ðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû T0 . Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòèõ óñëîâèé óñòðå-
4l /π 2 a2 , äëèíó â åäèíèöàõ äëèíû ñòåðæíÿ, à òåìïåðàòóðó â åäèíè-
 2                                                                         ìèì hl → ∞ è h0 → ∞.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî α = T0 è
öàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà.  ýòèõ åäèíèöàõ Ti , T0′ , t, x ÿâëÿþò-     β = Tl − T0 . Èç óðàâíåíèÿ (5) ïîëó÷àåì ÷òî tg λn l = 0, ÷òî ïðèâîäèò
ñÿ áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, è ìû ïîëó÷àåì ðàñ÷åòíóþ îðìóëó:              ê ñïåêòðó:
                                                                                                        πn
                                          ∞ 
                                                                                                   λn =     , n = 1, 2, . . . .
                                         X       4(−1)n (Ti − 1)                                          l
                              ′
         u(x, t)/Tl = 1 + T0 (x − 1) +        −                            åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
                                         n=1
                                                   π(2n − 1)
                                ′
                                                                                                                          ∞
                             8T0               2      πx(2n − 1)                                                     x X         2 2       πxn
                      +   2        2
                                       e−(2n−1) t cos            .                   u(x, t) = T0 + (Tl − T0 )        +    An e−λn a t sin     ,
                         π (2n − 1)                        2                                                         l n=1                  l
   ×èñëåííûé àíàëèç ýòîé îðìóëû èçîáðàæåí íà èñ. 2. Ñ òå÷å-              ãäå
íèåì âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïðàâîãî êîíöà íå ìåíÿåòñÿ è ðàâíÿåòñÿ                                           2       l
                                                                                                                                 πxn
                                                                                                             Z
òåìïåðàòóðå Tl â òî âðåìÿ êàê òåìïåðàòóðà âäîëü ñòåðæíÿ ïàäàåò è                                  An =               F (x) sin       dx.
                                                                                                         l   0                    l

                                         9                                                                      10