ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
èñòå÷åíèè áîëüøîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, t → ∞, ïîëó÷àåì: u/Tl t→∞ lim u(x, t) = Tl + T0′ (x − l). 5 Äðóãèìè ñëîâàìè, òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ïî âñåé åãî äëèíå ëèíåéíî 4 çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ íà ñòåðæíå. Íà ïðàâîé ãðàíèöå, ïðè x = l, 3 ïîëó÷àåì, ÷òî òåìïåðàòóðà ðàâíà òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû Tl , â òî âðåìÿ êàê íà ëåâîé ãðàíèöå, ïðè x = 0, ïîëó÷àåì Tl −T0′ l < Tl 2 ïðè óñëîâèè T0′ > 0. Ïóñòü ñòåðæåíü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè áûë íàãðåò ðàâíî- 1 ìåðíî ïî âñåé ñâîåé äëèíå äî òåìïåðàòóðû Ti : f (x) = Ti . Òîãäà x 2 Z l πx(2n − 1) - 1 0.5 ‘ 1 An = (Ti − Tl + T0′ (l − x)) cos dx l 0 2l 4(−1)n(Ti − Tl ) 8lT0′ èñ. 2: Íà ðèñóíêå ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ñòåðæíÿ îò âðåìåíè â = − + 2 . åäèíèöàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà Tl . Çà åäèíèöó âðåìåíè ïðèíÿòà âåëè÷èíà π(2n − 1) π (2n − 1)2 t∗ = 4l2 /π 2 a2 , à çà åäèíèöó äëèíû äëèíà ñòåðæíÿ. Á îëüøàÿ òîëùèíà ëèíèè ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåìó ìîìåíòó âðåìåíè. åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä: ∞ X 4(−1)n (Ti − Tl ) óæå äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 10 âûõîäèò íà ñâîå ïðåäåëüíîå çíà÷å- u(x, t) = Tl + T0′ (x − l) + − n=1 π(2n − 1) íèå ñ óãëîì íàêëîíà T0′ . Ïðèìåð 3. Íà ïðàâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿí- 8lT0′ 2 2 πx(2n − 1) + 2 2 e−λn a t cos . íàÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû Tl ; íà ëå- π (2n − 1) 2l âîì êîíöå ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ òåìïå- Äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà óäîáíî èçìåðÿòü âðåìÿ â åäèíèöàõ t∗ = ðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû T0 . Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòèõ óñëîâèé óñòðå- 4l /π 2 a2 , äëèíó â åäèíèöàõ äëèíû ñòåðæíÿ, à òåìïåðàòóðó â åäèíè- 2 ìèì hl → ∞ è h0 → ∞.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî α = T0 è öàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà.  ýòèõ åäèíèöàõ Ti , T0′ , t, x ÿâëÿþò- β = Tl − T0 . Èç óðàâíåíèÿ (5) ïîëó÷àåì ÷òî tg λn l = 0, ÷òî ïðèâîäèò ñÿ áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, è ìû ïîëó÷àåì ðàñ÷åòíóþ îðìóëó: ê ñïåêòðó: πn ∞ λn = , n = 1, 2, . . . . X 4(−1)n (Ti − 1) l ′ u(x, t)/Tl = 1 + T0 (x − 1) + − åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä: n=1 π(2n − 1) ′ ∞ 8T0 2 πx(2n − 1) x X 2 2 πxn + 2 2 e−(2n−1) t cos . u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) + An e−λn a t sin , π (2n − 1) 2 l n=1 l ×èñëåííûé àíàëèç ýòîé îðìóëû èçîáðàæåí íà èñ. 2. Ñ òå÷å- ãäå íèåì âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïðàâîãî êîíöà íå ìåíÿåòñÿ è ðàâíÿåòñÿ 2 l πxn Z òåìïåðàòóðå Tl â òî âðåìÿ êàê òåìïåðàòóðà âäîëü ñòåðæíÿ ïàäàåò è An = F (x) sin dx. l 0 l 9 10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »