ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
lim
t→∞
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
,
T
0
T
l
T
i
f(x) = T
i
A
n
=
2
l
Z
l
0
(T
i
− T
0
− (T
l
− T
0
)
x
l
) sin
πnx
l
dx
=
2[1 − (−1)
n
](T
i
− T
0
)
πn
+
2(−1)
n
(T
l
− T
0
)
πn
.
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
+
∞
X
n=1
2[1 − (−1)
n
](T
i
− T
0
)
πn
+
2(−1)
n
(T
l
− T
0
)
πn
e
−λ
2
n
a
2
t
sin
πnx
l
.
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
+
T
i
−
T
0
+ T
l
2
∞
X
n=1
4e
−λ
2
2n−1
a
2
t
π(2n − 1)
sin
π(2n − 1)x
l
+ [T
l
− T
0
]
∞
X
n=1
e
−λ
2
2n
a
2
t
πn
sin
2πnx
l
.
λ
n
=
πn
l
6= 0
t → ∞
lim
t→∞
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
.
x = l
T
l
x = 0
T
0
t
∗
=
l
2
/π
2
a
2
T
i
, T
0
, t, x
u(x, t)/T
l
= T
0
+ (1 − T
0
)x +
∞
X
n=1
2[1 − (−1)
n
](T
i
− T
0
)
πn
+
2(−1)
n
(1 − T
0
)
πn
e
−n
2
t
sin πnx.
t =
10
0.5 1
x
1
2
3
4
5
u T
l
/
0.5 1
x
1
2
3
4
5
u T
l
/
0.5 1
x
1
2
3
4
5
u T
l
/
T
l
T
i
= 0.5, 2.5, 4.5 t
∗
= l
2
/π
2
a
2
V (x, t) 6= 0
Ïî èñòå÷åíèþ áîëüøîãî âðåìåíè ïîëó÷àåì îæèäàåìûé ðåçóëüòàò íà ëåâîé ãðàíèöå, ïðè x = 0, òîæå ïîëó÷àåì òåìïåðàòóðó îêðóæàþ-
x ùåé ñðåäû T0 . Çàìåòèì, ÷òî êîíå÷íîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû íå
lim u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) , çàâèñèò îò íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ïî äëèíå ñòåðæ-
t→∞ l
íÿ.
ò.å. óñòàíîâèëîñü ñòàöèîíàðíîå ëèíåéíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòó-
Äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà óäîáíî èçìåðÿòü âðåìÿ â åäèíèöàõ t∗ =
ðû îò òåìïåðàòóðû T0 íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ è äî òåìïåðàòóðû Tl
l /π 2 a2 , äëèíó â åäèíèöàõ äëèíû ñòåðæíÿ, à òåìïåðàòóðó â åäèíèöàõ
2
íà ïðàâîì åãî êîíöå.
òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà. Â ýòèõ åäèíèöàõ Ti , T0 , t, x ÿâëÿþòñÿ
Ïóñòü ñòåðæåíü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè áûë íàãðåò ðàâíî-
áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, è ìû ïîëó÷àåì ðàñ÷åòíóþ îðìóëó:
ìåðíî ïî âñåé ñâîåé äëèíå äî òåìïåðàòóðû Ti : f (x) = Ti . Òîãäà
∞
2 l
Z
x πnx
X 2[1 − (−1)n ](Ti − T0 )
An = (Ti − T0 − (Tl − T0 ) ) sin dx u(x, t)/Tl = T0 + (1 − T0 )x +
l 0 l l n=1
πn
2[1 − (−1)n ](Ti − T0 ) 2(−1)n (Tl − T0 ) n
2(−1) (1 − T0 ) −n2 t
= + . + e sin πnx.
πn πn πn
åøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
×èñëåííûé àíàëèç ýòîé îðìóëû èçîáðàæåí íà èñ. 3. Ñ òå÷åíèåì
∞
x X 2[1 − (−1)n ](Ti − T0 ) âðåìåíè òåìïåðàòóðà êîíöîâ ñòåðæíÿ íå ìåíÿåòñÿ, â òî âðåìÿ êàê
u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) + òåìïåðàòóðà âäîëü ñòåðæíÿ ïàäàåò è óæå äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t =
l n=1 πn
10 âûõîäèò íà ñâîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå.
2(−1)n (Tl − T0 ) −λ2n a2 t
πnx
+ e sin . u /Tl u/Tl
πn l u/Tl
5 5 5
àçäåëèì ñóììèðîâàíèå ïî íå÷åòíûì è ÷åòíûì èíäåêñàì. Ïîëó÷àåì: 4 4 4
3 3 3
x
u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) 2 2 2
l 1 1 1
∞ 2 2
4e−λ2n−1 a t
X
T0 + Tl π(2n − 1)x 0.5 1
x
0.5 1
x
0.5 1
x
+ Ti − sin
2 n=1
π(2n − 1) l
∞ 2 2
èñ. 3: Íà ðèñóíêàõ ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ñòåðæíÿ îò âðåìåíè
X e−λ2n a t 2πnx â åäèíèöàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîíöà Tl äëÿ òðåõ çíà÷åíèé íà÷àëüíîé òåìïå-
+ [Tl − T0 ] sin . ðàòóðû: Ti = 0.5, 2.5, 4.5. Çà åäèíèöó âðåìåíè ïðèíÿòà âåëè÷èíà t∗ = l2 /π 2 a2 ,
πn l
n=1 à çà åäèíèöó äëèíû äëèíà ñòåðæíÿ. Áîëüøàÿ òîëùèíà ëèíèè ñîîòâåòñòâóåò
áîëüøåìó ìîìåíòó âðåìåíè.
Ïîñêîëüêó âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λn = πn l 6= 0, òî ïî èñòå÷å-
íèè áîëüøîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, t → ∞, ïîëó÷àåì:
x
lim u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) . 1.2 Îáùèé ñëó÷àé: V (x, t) 6= 0.
t→∞ l
Äðóãèìè ñëîâàìè, òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ïî âñåé åãî äëèíå ëèíåéíî Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðà å ìû âûÿñíèëè, ÷òî îáùåå ðåøåíèå îäíîðîä-
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ íà ñòåðæíå. Íà ïðàâîé ãðàíèöå, ïðè x = l, ïî- íîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, èìååò âèä
ëó÷àåì, ÷òî òåìïåðàòóðà ðàâíà òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû Tl , (6). Ïî ýòîé ïðè÷èí áóäåì èñêàòü ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
11 12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
