ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
φ
n
(t) = sin
πxn
l
Φ
n
= l/2
T
n
(0) = A
n
=
2
l
Z
l
0
(T − T
0
− (T
l
− T
0
)
x
l
) sin
πnx
l
dx
=
2[1 − (−1)
n
](T − T
0
)
πn
+
2(−1)
n
(T
l
− T
0
)
πn
.
V (x, t) = U
V (x, t) =
∞
X
n=1
φ
n
(x)γ
n
,
γ
n
=
1
Φ
n
Z
l
0
φ
n
(x)V (x, t)dx =
2U
l
Z
l
0
sin
πxn
l
dx
=
2U(1 − (−1)
n
)
πn
.
T
n
(t) = e
−λ
2
n
a
2
t
T
n
(0) +
Z
t
0
e
−λ
2
n
a
2
(t−τ )
γ
n
dτ
= A
n
e
−λ
2
n
a
2
t
+ γ
n
1 − e
−λ
2
n
a
2
t
λ
2
n
a
2
,
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
+
∞
X
n=1
(A
n
e
−λ
2
n
a
2
t
+ γ
n
1 − e
−λ
2
n
a
2
t
λ
2
n
a
2
) sin
πxn
l
.
t → ∞
lim
t→∞
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
+
∞
X
n=1
γ
n
λ
2
n
a
2
sin
πxn
l
.
∞
X
n=1
γ
n
λ
2
n
a
2
sin
πxn
l
=
U
2a
2
(l − x)x.
lim
t→∞
u(x, t) = T
0
+ (T
l
− T
0
)
x
l
+
U
2a
2
(l − x)x.
x
(T
l
− T
0
)
1
l
+
U
2a
2
(l − 2x) = 0.
x
max
l
=
T
l
− T
0
+
Ul
2
2a
2
Ul
2
a
2
.
u(x
max
, t)
t→∞
=
(2T
l
+
Ul
2
a
2
)
2
+ 4T
0
(T
0
− 2T
l
+
Ul
2
a
2
)
8
Ul
2
a
2
.
t
∗
=
l
2
/π
2
a
2
T
l
/t
∗
U, T
i
, T
′
0
, t, x
u(x, t)/T
l
= T
0
+ (1 − T
0
)x
+
∞
X
n=1
2[1 − (−1)
n
](T
i
− T
0
)
πn
+
2(−1)
n
(1 − T
0
)
πn
e
−n
2
t
+
2U(1 − (−1)
n
)
πn
3
(1 − e
−n
2
t
)
sin πnx.
ãäå φn (t) = sin πxn
l , Φn = l/2, è Ïîñëåäíÿÿ ñóììà âû÷èñëÿåòñÿ òî÷íî:
∞
2 l x πnx γn πxn U
Z X
Tn (0) = An = (T − T0 − (Tl − T0 ) ) sin dx 2 a2
sin = 2 (l − x)x.
l 0 l l λ
n=1 n
l 2a
2[1 − (−1)n ](T − T0 ) 2(−1)n (Tl − T0 )
= + . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû:
πn πn
Ïðåäñòàâèì óíêöèþ V (x, t) = U â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî òåì æå x U
lim u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) + 2 (l − x)x.
óíêöèÿì t→∞ l 2a
∞
V (x, t) =
X
φn (x)γn , Íà êîíöàõ ñòåðæíÿ íåò äîïîëíèòåëüíîãî âêëàäà, è ðàñïðåäåëåíèå
n=1
òåìïåðàòóðû èìååò âèä ïàðàáîëû. ×òîáû íàéòè òî÷êó ñ ìàêñèìàëü-
ãäå íîé òåìïåðàòóðîé âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïî x îò âûøåïðèâåäåííîé
îðìóëû è ïðèðàâíÿåì íóëþ:
Z l
1 2U l πxn
Z
γn = φn (x)V (x, t)dx = sin dx 1 U
Φn 0 l 0 l (Tl − T0 ) + 2 (l − 2x) = 0.
l 2a
2U (1 − (−1)n )
= . Îòñþäà íàõîäèì êîîðäèíàòó òî÷êè ñ ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðîé:
πn
Òàêèì îáðàçîì, xmax Tl − T0 + Ul2
2a2
= Ul2
.
Z t l a2
−λ2n a2 t −λ2n a2 (t−τ )
Tn (t) = e Tn (0) + e γn dτ
0 Òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ â ýòîé òî÷êå
2 2
−λ2n a2 t 1 − e−λn a t
= An e + γn , Ul2 2 Ul2
λ2n a2 (2Tl + a2 ) + 4T0 (T0 − 2Tl + a2 )
u(xmax , t)t→∞ = 2 .
8 Ul
a2
è ðåøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
x Äëÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà óäîáíî èçìåðÿòü âðåìÿ â åäèíèöàõ t∗ =
u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) l /π 2 a2 , äëèíó â åäèíèöàõ äëèíû ñòåðæíÿ, ìîùíîñòü èñòî÷íèêà â
2
l
∞ 2 2 åäèíèöàõ Tl /t∗ , à òåìïåðàòóðó â åäèíèöàõ òåìïåðàòóðû ïðàâîãî êîí-
X 2 2 1 − e−λn a t πxn öà.  ýòèõ åäèíèöàõ U, Ti , T0′ , t, x ÿâëÿþòñÿ áåçðàçìåðíûìè âåëè÷è-
+ (An e −λn a t
+ γn 2 2
) sin . (11)
n=1
λn a l íàìè, è ìû ïîëó÷àåì ðàñ÷åòíóþ îðìóëó:
Êàêîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû óñòàíîâèòñÿ â ñòåðæíå ïî èñòå- u(x, t)/Tl = T0 + (1 − T0 )x
÷åíèè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî âðåìåíè? Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ âû- ∞
2[1 − (−1)n ](Ti − T0 ) 2(−1)n (1 − T0 )
2
÷èñëèì ïðåäåë t → ∞ â îðìóëå (11). Ïîëó÷èì
X
+ + e−n t
n=1
πn πn
∞
x X γn πxn 2U (1 − (−1)n )
lim u(x, t) = T0 + (Tl − T0 ) + sin . +
2
(1 − e−n t ) sin πnx.
t→∞ l n=1 λ2n a2 l πn 3
15 16
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
