Задачи по аналитической геометрии. Часть II. Игудесман К.Б. - 34 стр.

UptoLike

Составители: 

x = 1 + 2t, y = 3 + 3t, z = t
Oz
1) x
2
+ 5y
2
+ z
2
+ 2xy + 6xz + 2yz 2x + 6y 10z = 0 ;
2) x
2
+ y
2
3z
2
2xy 6xz 6yz + 2x + 2y + 4z = 0 ;
3) x
2
2y
2
+ z
2
+ 4xy 10xz + 4yz + x + y z = 0 ;
4) x
2
+ y
2
+ 4z
2
+ 2xy + 4xz + 4yz 6z + 1 = 0 .
a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
+ 2a
13
x + 2a
23
y + a
33
= 0 .
(
a
11
x + a
12
y + a
13
= 0
a
12
x + a
22
y + a
23
= 0 .
{l, m}
l(a
11
x + a
12
y + a
13
) + m(a
12
x + a
22
y + a
23
) = 0 .
{l
1
, m
1
} {l
2
, m
2
}
a
11
l
1
l
2
+ a
12
(l
1
m
2
+ l
2
m
1
) + a
22
m
1
m
2
= 0 .
  142. Ïðÿìàÿ x = 1 + 2t, y = −3 + 3t, z = t âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè
Oz . Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.
  143. Îïðåäåëèòü âèä ïîâåðõíîñòè, ïîëüçóÿñü ïðèâåäåíèåì ëåâîé
÷àñòè åå óðàâíåíèÿ ê ñóììå êâàäðàòîâ ìåòîäîì Ëàãðàíæà:
1) x2 + 5y 2 + z 2 + 2xy + 6xz + 2yz − 2x + 6y − 10z = 0 ;
2) x2 + y 2 − 3z 2 − 2xy − 6xz − 6yz + 2x + 2y + 4z = 0 ;
3) x2 − 2y 2 + z 2 + 4xy − 10xz + 4yz + x + y − z = 0 ;
4) x2 + y 2 + 4z 2 + 2xy + 4xz + 4yz − 6z + 1 = 0 .


9 Êðèâûå è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàí-
      íûå îáùèìè óðàâíåíèÿìè

Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò âèä:

          a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 .

  Åñëè êðèâàÿ îáëàäàåò öåíòðîì ñèììåòðèè, òî åãî êîîðäèíàòû îïðå-
äåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé:
                      (
                          a11 x + a12 y + a13 = 0
                          a12 x + a22 y + a23 = 0 .

  Äèàìåòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ñîïðÿæåííûé õîðäàì, ïàðàë-
ëåëüíûì âåêòîðó {l, m}, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì:

           l(a11 x + a12 y + a13 ) + m(a12 x + a22 y + a23 ) = 0 .

   ñëó÷àå öåíòðàëüíîé êðèâîé âñå äèàìåòðû ïðîõîäÿò ÷åðåç öåíòð.
  Íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû {l1 , m1 } è {l2 , m2 } äâóõ ñîïðÿæåííûõ îò-
íîñèòåëüíî ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íàïðàâëåíèé óäîâëåòâîðÿþò óñëî-
âèþ
              a11 l1 l2 + a12 (l1 m2 + l2 m1 ) + a22 m1 m2 = 0 .


                                     34