Задачи по аналитической геометрии. Часть II. Игудесман К.Б. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{l, m}
a
11
l
2
+ 2a
12
lm + a
22
m
2
= 0 .
l(a
11
x + a
12
y + a
13
) + m(a
12
x + a
22
y + a
23
) = 0 ,
{l, m}
M
0
(x
0
, y
0
)
(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ a
13
)x + (a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ a
23
)y + a
13
x
0
+ a
23
y
0
+ a
33
= 0 .
a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ a
33
z
2
+ 2a
12
xy + 2a
13
xz + 2a
23
yz +
+ 2a
14
x + 2a
24
y + 2a
34
z + a
44
= 0 .
a
11
x + a
12
y + a
13
z + a
14
= 0
a
12
x + a
22
y + a
23
z + a
24
= 0
a
13
x + a
23
y + a
33
z + a
34
= 0 .
{l, m, n}
l(a
11
x + a
12
y + a
13
z + a
14
) + m(a
12
x + a
22
y + a
23
z + a
24
) +
   Íàïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå âåêòîðîì {l, m}, íàçûâàåòñÿ àñèìïòî-
òè÷åñêèì, åñëè îíî ñîïðÿæåíî ñàìîìó ñåáå, òî åñòü

                        a11 l2 + 2a12 lm + a22 m2 = 0 .

   Àñèìïòîòû ãèïåðáîëû ïðîõîäÿò ÷åðåç åå öåíòð; èõ íàïðàâëÿþùèå
âåêòîðà èìåþò àñèìïòîòè÷åñêèå íàïðàâëåíèÿ. Êðîìå òîãî, àñèìïòî-
òû ìîæíî îïðåäåëèòü êàê äèàìåòðû, ñîïðÿæåííûå àñèìïòîòè÷åñêèì
íàïðàâëåíèÿì. Óðàâíåíèÿ àñèìïòîò ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

             l(a11 x + a12 y + a13 ) + m(a12 x + a22 y + a23 ) = 0 ,

ãäå âåêòîð {l, m} èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå.
   Êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà â åå òî÷êå M0 (x0 , y0 ) îïðå-
äåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì

(a11 x0 + a12 y0 + a13 )x + (a12 x0 + a22 y0 + a23 )y + a13 x0 + a23 y0 + a33 = 0 .

   Îáùåå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò âèä:

   a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz +

                                        + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 .

   Åñëè ïîâåðõíîñòü îáëàäàåò öåíòðîì ñèììåòðèè, òî åãî êîîðäèíàòû
îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé:
                    
                    
                     a11 x + a12 y + a13 z + a14 = 0
                    
                      a12 x + a22 y + a23 z + a24 = 0
                    
                    
                     a x+a y+a z+a = 0 .
                       13      23      33      34

   Åñëè ìû ðàññìîòðèì âñå õîðäû ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëüíûå âåêòîðó
{l, m, n}, òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñåðåäèí ýòèõ õîðä åñòü ïëîñêîñòü 
äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü, ñîïðÿæåííàÿ äàííûì õîðäàì. Óðàâíåíèå
ýòîé ïëîñêîñòè

l(a11 x + a12 y + a13 z + a14 ) + m(a12 x + a22 y + a23 z + a24 ) +

                                        35

Страницы