Задачи по аналитической геометрии. Часть II. Игудесман К.Б. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
2
=
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
13
a
13
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
a
22
a
23
a
23
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
.
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
− λ a
12
a
12
a
22
− λ
¯
¯
¯
¯
¯
= 0
λ
1
λ
2
I
2
6= 0
λ
1
X
2
+ λ
2
Y
2
+
K
3
I
2
= 0 .
I
2
= 0, K
3
6= 0
I
1
X
2
± 2
r
−
K
3
I
1
Y = 0 .
  Ñëåäóþùåå âûðàæåíèå, íàçûâàåìîå ñåìèèíâàðèàíòîì, ÿâëÿåòñÿ
èíâàðèàíòîì ïîâîðîòà ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:
                       ¯           ¯ ¯            ¯
                       ¯a a        ¯ ¯a a         ¯
                       ¯ 11 13     ¯ ¯ 22 23      ¯
                  K2 = ¯           ¯+¯            ¯ .
                       ¯ a13 a33   ¯ ¯ a23 a33    ¯

  Óðàâíåíèå           ¯                     ¯
                      ¯ a −λ   a12          ¯
                      ¯ 11                  ¯
                      ¯                     ¯=0
                      ¯ a12  a22 − λ        ¯
íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì. Åãî êîðíè λ1 è λ2 âñåãäà äåéñòâè-
òåëüíû.
  Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû.

 1. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíåñåì ëèíèè, èìåþùèå åäèíñòâåííûé öåíòð
    ñèììåòðèè: ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, ãèïåðáîëà, äâå ïåðåñåêàþ-
    ùèåñÿ ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå.

    Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ëèíèÿ âòîðîãî ïî-
    ðÿäêà èìååò åäèíñòâåííûé öåíòð ñèììåòðèè: I2 6= 0.

    Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
    óðàâíåíèå ëèíèè ïåðâîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:
                                            K3
                        λ1 X 2 + λ2 Y 2 +      =0.
                                            I2

 2. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíåñåì ëèíèè, íå èìåþùèå öåíòðà ñèììåòðèè,
    òî åñòü îäíó ïàðàáîëó.

    Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ëèíèÿ âòîðîãî ïî-
    ðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîé: I2 = 0, K3 6= 0.

    Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
    óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:
                                   r
                                        K3
                        I1 X 2 ± 2 −       Y =0.
                                        I1

                                   39

Страницы