Задачи по аналитической геометрии. Часть II. Игудесман К.Б. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
3
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
14
a
12
a
22
a
24
a
14
a
24
a
44
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
13
a
14
a
13
a
33
a
34
a
14
a
34
a
44
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
22
a
23
a
24
a
23
a
33
a
34
a
24
a
34
a
44
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
−
λ a
12
a
13
a
12
a
22
− λ a
23
a
13
a
23
a
33
− λ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0
λ
1
, λ
2
λ
3
I
3
6= 0
λ
1
X
2
+ λ
2
Y
2
+ λ
3
Z
2
+
K
4
I
3
= 0 .
I
3
= 0, K
4
6= 0
λ
1
X
2
+ λ
2
Y
2
± 2
r
−
K
4
I
2
Z = 0 .
           ¯               ¯ ¯                 ¯ ¯                 ¯
           ¯a a a          ¯ ¯a a a            ¯ ¯                 ¯
           ¯ 11 12 14      ¯ ¯ 11 13 14        ¯ ¯ a22 a23 a24     ¯
           ¯               ¯ ¯                 ¯ ¯                 ¯
     K3 = ¯¯ a12 a22 a24   ¯ + ¯ a13 a33 a34
                           ¯ ¯
                                               ¯ + ¯ a23 a33 a34
                                               ¯ ¯
                                                                   ¯ .
                                                                   ¯
           ¯               ¯ ¯                 ¯ ¯                 ¯
           ¯ a14 a24 a44   ¯ ¯ a14 a34 a44     ¯ ¯ a24 a34 a44     ¯
  Óðàâíåíèå       ¯                              ¯
                  ¯a −                           ¯
                  ¯ 11 λ   a12     a13           ¯
                  ¯                              ¯
                  ¯ a12  a22 − λ   a23           ¯=0
                  ¯                              ¯
                  ¯                              ¯
                  ¯ a13    a23   a33 − λ         ¯
íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì. Åãî êîðíè λ1 , λ2 è λ3 âñåãäà äåé-
ñòâèòåëüíû.
  Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæíî ðàçáèòü íà ïÿòü ãðóïï.

 1. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíåñåì ïîâåðõíîñòè, èìåþùèå åäèíñòâåííûé
    öåíòð ñèììåòðèè: ýëëèïñîèä, ìíèìûé ýëëèïñîèä, ìíèìûé êîíóñ,
    îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä, äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä, êîíóñ.

    Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ëèíèÿ âòîðîãî ïî-
    ðÿäêà èìååò åäèíñòâåííûé öåíòð ñèììåòðèè: I3 6= 0.

    Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
    óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ïåðâîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê
    âèäó:
                                                 K4
                    λ1 X 2 + λ2 Y 2 + λ3 Z 2 +      =0.
                                                 I3
 2. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíåñåì ïîâåðõíîñòè, íå èìåþùèå öåíòðà ñèì-
    ìåòðèè: ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä è ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëî-
    èä.

    Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ïîâåðõíîñòü âòîðî-
    ãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîèäîì: I3 = 0, K4 6= 0.

    Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
    óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê
    âèäó:                               r
                                            K4
                    λ1 X 2 + λ2 Y 2 ± 2 −      Z=0.
                                            I2
                                   41

Страницы