Задачи по аналитической геометрии. Часть II. Игудесман К.Б. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

O
1
, O
2
, O
3
E
O
1
(a
1
1
: a
2
1
: a
3
1
) O
2
(a
1
2
: a
2
2
: a
3
2
) O
3
(a
1
3
: a
2
3
: a
3
3
) E(b
1
: b
2
: b
3
)
M (x
1
: x
2
: x
3
)
(y
1
: y
2
: y
3
)
x
1
= a
1
1
ρ
1
y
1
+ a
1
2
ρ
2
y
2
+ a
1
3
ρ
3
y
3
x
2
= a
2
1
ρ
1
y
1
+ a
2
2
ρ
2
y
2
+ a
2
3
ρ
3
y
3
x
3
= a
3
1
ρ
1
y
1
+ a
3
2
ρ
2
y
2
+ a
3
3
ρ
3
y
3
,
ρ
1
, ρ
2
ρ
3
a
1
1
ρ
1
+ a
1
2
ρ
2
+ a
1
3
ρ
3
= b
1
a
2
1
ρ
1
+ a
2
2
ρ
2
+ a
2
3
ρ
3
= b
2
a
3
1
ρ
1
+ a
3
2
ρ
2
+ a
3
3
ρ
3
= b
3
.
O
1
, O
2
, O
3
E
(1 : 0 : 0) (0 : 1 : 0) (0 : 0 : 1) (1 : 1 : 1)
O
1
O
2
Ox Oy O
3
E Oxy
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
= 0 ,
a
2
1
x
1
+ a
2
2
x
2
+ a
2
3
x
3
= 0 ,
a
3
1
x
1
+ a
3
2
x
2
+ a
3
3
x
3
= 0
O
2
O
3
O
3
O
1
O
1
O
2
(b
1
: b
2
: b
3
)
E (y
1
: y
2
: y
3
)
M (x
1
: x
2
: x
3
)
y
1
=
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
a
1
1
b
1
+ a
1
2
b
2
+ a
1
3
b
3
, y
2
=
a
2
1
x
1
+ a
2
2
x
2
+ a
2
3
x
3
a
2
1
b
1
+ a
2
2
b
2
+ a
2
3
b
3
,
y
3
=
a
3
1
x
1
+ a
3
2
x
2
+ a
3
3
x
3
a
3
1
b
1
+ a
3
2
b
2
+ a
3
3
b
3
.
   Åñëè îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû òî÷åê O1 , O2 , O3 è E ñóòü ñîîòâåò-
ñòâåííî: O1 (a11 : a21 : a31 ), O2 (a12 : a22 : a32 ), O3 (a13 : a23 : a33 ) è E(b1 : b2 : b3 ),
à òî÷êà M èìååò îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû (x1 : x2 : x3 ), òî åå ïðîåê-
òèâíûå êîîðäèíàòû (y 1 : y 2 : y 3 ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ ñîîòíî-
øåíèé:                 
                         1   1 1 1    1 2 2    1 3 3
                        x = a1 ρ y + a2 ρ y + a3 ρ y
                       
                          x2 = a21 ρ1 y 1 + a22 ρ2 y 2 + a23 ρ3 y 3
                       
                       
                        x3 = a3 ρ1 y 1 + a3 ρ2 y 2 + a3 ρ3 y 3 ,
                               1           2           3

ãäå ÷èñëà ρ1 , ρ2 è ρ3 îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:
                           
                             1 1    1 2    1 3     1
                            a1 ρ + a2 ρ + a3 ρ = b
                           
                             a21 ρ1 + a22 ρ2 + a23 ρ3 = b2
                           
                           
                            a3 ρ1 + a3 ρ2 + a3 ρ3 = b3 .
                               1        2        3

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû òî÷åê O1 , O2 , O3 è E
áóäóò: (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1) è (1 : 1 : 1). Îäíîðîäíûå
êîîðäèíàòû åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîåêòèâíûõ êîîðäèíàò, êîãäà òî÷êè
O1 è O2  íåñîáñòâåííûå òî÷êè îñåé Ox è Oy , O3  íà÷àëî êîîðäèíàò,
E  åäèíè÷íàÿ òî÷êà îáùåé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxy .
   Åñëè
                              a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0 ,
                              a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0 ,
                              a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = 0
ñóòü ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ñòîðîí O2 O3 , O3 O1 è O1 O2 áàçèñíîãî
òðåóãîëüíèêà, à (b1 : b2 : b3 )  îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû åäèíè÷íîé
òî÷êè E , òî ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû (y 1 : y 2 : y 3 ) ïðîèçâîëüíîé òî÷-
êè M âûðàæàþòñÿ ÷åðåç åå îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû (x1 : x2 : x3 )
ñîîòíîøåíèÿìè:
            1a11 x1 + a12 x2 + a13 x3               2 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
          y = 1 1                     ,            y = 2 1                     ,
              a1 b + a12 b2 + a13 b3                   a1 b + a22 b2 + a23 b3
                                      a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
                              y3 =                             .
                                      a31 b1 + a32 b2 + a33 b3
                                              47

Страницы