Excel в математических и статистических расчетах - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

14
∫
+++≈
b
a
n
SSSdxxf ...)(
21
где
n
SSS ,...,,
21
— площади прямоугольников на каждом из от-
резков разбиения. Отдельное слагаемое
i
S равно площади прямо-
угольника со сторонами
x
∆
и )(
i
xf , где i = 1, 2, ..., п (рис. 4.3). От-
сюда получается формула (4.5). Метод прямоугольников является
простейшим, но и наименее точным.
Более точно определенный интеграл может быть вычислен
по формуле трапеций (4.6). В этом случае, в отличие от метода
прямоугольников, на каждом из отрезков разбиения [х
i-1
, x
i
] уча-
сток кривой y=f(x) заменяется хордами, стягивающими концевые
точки. Тогда, отдельное слагаемое интегральной суммы S
i
,- равно
площади трапеции с основаниями f(xi) и f(
xi-
1) и высотой Δx, где
i= 1, 2, ..., n. То есть:
x
xfxf
S
ii
i
∆
+
=
−
2
)()(
1
Складывая площади элементарных трапеций и приводя по-
добные члены, получаем формулу (4.6).
Погрешность (
∆
) вычисления определенного интеграла по
формуле трапеций (S(n)):
∫
−=∆
b
a
nSdxxf )()(
может быть оценена из выражения:
2
2
3
12
)(
M
n
ab −
≤∆
где М
2
— максимальное значение модуля второй производ-
ной f"(x) подынтегральной функции у -f(x) на [а, Ь]. Рассмотрим
вычисления интегралов по методу прямоугольников и методу
трапеций.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                 b

                                 ∫ f ( x)dx ≈ S
                                 a
                                                  1   + S 2 + ... + S n

               где S1 , S 2 ,..., S n — площади прямоугольников на каждом из от-
         резков разбиения. Отдельное слагаемое S i равно площади прямо-
         угольника со сторонами ∆x и f ( xi ) , где i = 1, 2, ..., п (рис. 4.3). От-
         сюда получается формула (4.5). Метод прямоугольников является
         простейшим, но и наименее точным.
               Более точно определенный интеграл может быть вычислен
         по формуле трапеций (4.6). В этом случае, в отличие от метода
         прямоугольников, на каждом из отрезков разбиения [хi-1, xi] уча-
         сток кривой y=f(x) заменяется хордами, стягивающими концевые
         точки. Тогда, отдельное слагаемое интегральной суммы Si,- равно
         площади трапеции с основаниями f(xi) и f(xi-1) и высотой Δx, где
         i= 1, 2, ..., n. То есть:

                                         f ( x i −1 ) + f ( x i )
                                Si =                              ∆x
                                                     2

             Складывая площади элементарных трапеций и приводя по-
         добные члены, получаем формулу (4.6).
             Погрешность ( ∆ ) вычисления определенного интеграла по
         формуле трапеций (S(n)):
                                           b
                                     ∆=    ∫ f ( x)dx − S (n)
                                           a
                может быть оценена из выражения:

                                            (b − a ) 3
                                         ∆≤            M2
                                             12n 2
              где М2 — максимальное значение модуля второй производ-
         ной f"(x) подынтегральной функции у -f(x) на [а, Ь]. Рассмотрим
         вычисления интегралов по методу прямоугольников и методу
         трапеций.




         14

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы