Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 15 стр.

2. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ: ÇÒÕÐÐÙ, ËÏÌØÃÁ É ÐÏÌÑ
2.1. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ

     îÁÞÎÅÍ Ó ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
X.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. âÉÎÁÒÎÏÊ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ÎÁ X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
∗:X × X → X ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÐÁÒÅ (a, b) ∈ X × X ÓÔÁ-
×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∗ b ∈ X.
   úÁÄÁÎÉÅ. äÁÊÔÅ ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÉ ÐÏÍÏÝÉ ÐÏÎÑÔÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ.
   ðÒÉÍÅÒÁÍÉ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÐÅÒÁÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏ-
ÖÅÎÉÑ × ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∩ É ∪ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×
ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, É Ô.Ä.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÚÁÍËÎÕÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∗, ÅÓÌÉ ÅÅ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÎÅ ×Ù×ÏÄÉÔ ÚÁ ÅÇÏ ÐÒÅÄÅÌÙ. ÷ ÎÁÛÅÍ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÉ ÜÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÁÍÏ ÓÏÂÏÊ, ÎÏ ÔÅÒÍÉÎ ÐÏÌÅÚÎÙÊ, É ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ
ÚÁÄÁÞ ÐÒÉÇÏÄÉÔÓÑ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. âÉÎÁÒÎÁÑ ÏÐÅÒÁÃÉÑ ∗ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) É ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ b ∗ a = a ∗ b ÐÒÉ ×ÓÅÈ a, b É c,
ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ X.
   úÁÄÁÎÉÅ. ðÒÉÄÕÍÁÊÔÅ ÎÅ ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÕÀ ÏÐÅÒÁÃÉÀ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. üÌÅÍÅÎÔ e ∈ X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ (ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÍ)
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÎÁÒÎÏÊ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ∗, ÅÓÌÉ e ∗ x = x ∗ e = x ÐÒÉ ×ÓÅÈ x ∈ X.
   ÷ ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ
ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. çÒÕÐÐÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G Ó ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÁ ÎÅÍ
ÂÉÎÁÒÎÏÊ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ∗, ËÏÔÏÒÁÑ
   1. ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÁ,
   2. ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ e,
   3. ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ g ∈ G ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ g −1 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ

                             g ∗ g −1 = g −1 ∗ g = e

   4. çÒÕÐÐÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ( ÉÎÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ), ÅÓÌÉ
ÏÐÅÒÁÃÉÑ ∗ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ, ÔÏ ÅÓÔØ a ∗ b = b ∗ a.
   ðÒÉÍÅÒ 1.
   1) íÎÏÖÅÓÔ×Á Z, Q, R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ¥+¥ Ñ×ÌÑÀÔ-
ÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍÉ ÇÒÕÐÐÁÍÉ. îÅÊÔÒÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ ÂÕÄÅÔ
0. ïÐÅÒÁÃÉÑ ×ÙÞÉÔÁÎÉÑ ¥ ¡ ¥ ÜÔÏ ÐÒÏÓÔÏ ÐÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ.
                                  16