Алгебра. Комплексные числа, алгебраические структуры. Илларионова О.Г - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2) íÎÏÖÅÓÔ×Ï GL(n, R) ×ÓÅÈ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉà ÐÏÒÑÄ-
ËÁ n ÂÕÄÅÔ ÇÒÕÐÐÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. îÅÊÔÒÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÂÕ-
ÄÅÔ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ E.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Ó Ä×ÕÍÑ ÏÐÅÒÁÃÉÑÍÉ ¥+¥ É ¥·¥ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÌØÃÏÍ, ÅÓÌÉ ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ
×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á 1-4 (ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ-
ÓÑ 0); ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ Ó×ÏÊÓÔ×Á 5 ¡ 7:
5. (a · b) · c = a · (b · c) ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÐÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ,
6. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÉÃÁ ÐÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ (ÅÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ 1),
7. (a + b) · c = ac + bc = ab + ac ¡ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ
Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ.
åÓÌÉ ÏÐÅÒÁÃÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÅÝÅ É ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÌÑ ×ÓÅÈ, ËÒÏÍÅ
0 (ÎÁ ÎÏÌØ ÄÅÌÉÔØ ÎÅÌØÚÑ) É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏ, ÔÏ ÜÔÏ ËÏÌØÃÏ ÂÕÄÅÔ
ÐÏÌÅÍ. ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6. ðÏÌÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ, Ñ×ÌÑÀ-
ÝÁÑÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ, ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÐÐÕ ÐÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ. ðÒÉÞÅÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÓÌÏ-
ÖÅÎÉÅ Ó×ÑÚÁÎÙ ÚÁËÏÎÏÍ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ.
ôÏ ÅÓÔØ, ÐÏÌÅ ¡ ÜÔÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÄÅÌÅÎÉÅ
ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ.
éÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÙ ÚÎÁÅÍ ÄÒÕÇÕÀ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ¡
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. îÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÐÏÌÅÍ K ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅË-
ÔÏÒÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÔÁËÏÅ ÖÅ, ËÁË ÎÁÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ: Ä×Å
ÏÐÅÒÁÃÉÉ ¡ ÜÔÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÓËÁÌÑÒ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÐÏÌÑ K. ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÜÔÏ:
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7. ÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ K ¡ ÜÔÏ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï V Ó Ä×ÕÍÑ ÏÐÅÒÁÃÉÑÍÉ ¡ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÐÏÌÑ K. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÜÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ÐÏÄÞÉÎÑÔØÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ
ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É Ô.Ä.
úÁÄÁÞÁ ÎÁ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÓÔØ: × ÞÅÍ ÏÔÌÉÞÉÅ ÐÏÎÑÔÉÊ ¥ËÏÌØÃÏ¥ É ¥×ÅËÔÏÒ-
ÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï¥?
÷ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÐÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÙÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÌÉ ∞.
2.2. ëÏÌØÃÏ Z
m
×ÙÞÅÔÏ× ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ m
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 8. ä×Á ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁ n É n
1
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÉÍÙÍÉ ÐÏ
ÍÏÄÕÌÀ m, (m ∈ N), ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ m ÏÎÉ ÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ.
þÉÓÌÏ m ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÕÌÅÍ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
17
   2) íÎÏÖÅÓÔ×Ï GL(n, R) ×ÓÅÈ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉà ÐÏÒÑÄ-
ËÁ n ÂÕÄÅÔ ÇÒÕÐÐÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. îÅÊÔÒÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÂÕ-
ÄÅÔ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ E.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 5. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Ó Ä×ÕÍÑ ÏÐÅÒÁÃÉÑÍÉ ¥+¥ É ¥·¥ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÌØÃÏÍ, ÅÓÌÉ ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ
×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á 1-4 (ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ-
ÓÑ 0); ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ Ó×ÏÊÓÔ×Á 5 ¡ 7:
   5. (a · b) · c = a · (b · c) ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÐÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ,
   6. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÉÃÁ ÐÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ (ÅÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ 1),
   7. (a + b) · c = ac + bc = ab + ac ¡ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ
Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ.
   åÓÌÉ ÏÐÅÒÁÃÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÅÝÅ É ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÌÑ ×ÓÅÈ, ËÒÏÍÅ
0 (ÎÁ ÎÏÌØ ÄÅÌÉÔØ ÎÅÌØÚÑ) É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏ, ÔÏ ÜÔÏ ËÏÌØÃÏ ÂÕÄÅÔ
ÐÏÌÅÍ. ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6. ðÏÌÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ, Ñ×ÌÑÀ-
ÝÁÑÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ, ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÐÐÕ ÐÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ. ðÒÉÞÅÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÓÌÏ-
ÖÅÎÉÅ Ó×ÑÚÁÎÙ ÚÁËÏÎÏÍ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ.
   ôÏ ÅÓÔØ, ÐÏÌÅ ¡ ÜÔÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÄÅÌÅÎÉÅ
ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ.
   éÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÙ ÚÎÁÅÍ ÄÒÕÇÕÀ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ¡
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. îÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÐÏÌÅÍ K ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅË-
ÔÏÒÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÔÁËÏÅ ÖÅ, ËÁË ÎÁÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ: Ä×Å
ÏÐÅÒÁÃÉÉ ¡ ÜÔÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÓËÁÌÑÒ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÐÏÌÑ K. ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÜÔÏ:
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7. ÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ K ¡ ÜÔÏ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï V Ó Ä×ÕÍÑ ÏÐÅÒÁÃÉÑÍÉ ¡ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÐÏÌÑ K. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÜÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ÐÏÄÞÉÎÑÔØÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ
ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É Ô.Ä.
   úÁÄÁÞÁ ÎÁ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÓÔØ: × ÞÅÍ ÏÔÌÉÞÉÅ ÐÏÎÑÔÉÊ ¥ËÏÌØÃÏ¥ É ¥×ÅËÔÏÒ-
ÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï¥?
   ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÐÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÙÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÌÉ ∞.


2.2. ëÏÌØÃÏ Zm ×ÙÞÅÔÏ× ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ m

  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 8. ä×Á ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁ n É n1 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÒÁ×ÎÉÍÙÍÉ ÐÏ
ÍÏÄÕÌÀ m, (m ∈ N), ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ m ÏÎÉ ÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ.
þÉÓÌÏ m ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÕÌÅÍ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
                                  17

Страницы