Интегральное исчисление - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Понятие интеграла является противоположным, обратным понятию производной. Первона-
чально возникшие как инструмент рения задачи вычисления площадей, интегралы играют важ-
ную роль в современной математике, физике и их приложениях.
1. Неопределённый интеграл
Определение 1. Первообр´азной функции y = f(x) называется такая функция y = F (x), что
F
′
(x) = f(x), или dF (x) = f dx.
Оказывается, что если некоторая функция обладает первообразной, то их бесконечно много.
Теорема 1. Пусть y = F (x) и y =
¯
F (x) — первообразные функции y = f (x). Тогда
F (x) −
¯
F (x) = c,
где c — постоянная. Обратно, если y = F (x) — первообразная функции y = f (x), то и любая
функция вида F (x) + c также является её первообразной.
Выражение вида F (x) + c, где F (x) — некоторая первообразная функции y = f (x), называется
неопределённым инт е гралом этой функции и обозначается через
R
f(x) dx. Таким образом,
Z
f(x) dx = F (x) + c,
где F (x) — первообразная, а c — постоянная. Выражение f (x) dx называется подынтегральным
выражени ем, а функция f (x) — подынтегральной функцией.
Предложение 1 (простейшие свойства неопределённого интеграла). Справедливы следующие
равенства:
1)
R
f(x) dx
′
= f (x), или
2) d
R
f(x) dx
= f (x) dx;
3)
R
f
′
(x) dx = f(x) + c, или
4)
R
df(x) = f(x) + c.
Задача о площади. Покажем, каким образом понятие первообразной связано с вычислением
площадей. Пусть y = f (x) — некоторая непрерывная функция и F (x) — площадь
1
фигуры, огра-
ниченной
1) снизу отрезком [x
0
, x];
2) слева отрезком [x
0
, f (x
0
)];
3) справа отрезком [x, f(x)];
4) сверху графиком функции y = f (x) на отрезке [x, x
0
].
Эта фигура называется криволинейной трапецией. Если отрезок [x
0
, x] увеличить на ∆x и ввести
обозначения
m = min
[x,x+∆x]
f(x), M = max
[x,x+∆x]
f(x),
то для приращения площади будут выполняться неравенства
m∆x 6 ∆F (x) 6 M ∆x,
1
Мы ещё не знаем, что такое пл ощадь, и поэтому наши рассуждения носят неформальный характер.
1
                             ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


  Понятие интеграла является противоположным, обратным понятию производной. Первона-
чально возникшие как инструмент рения задачи вычисления площадей, интегралы играют важ-
ную роль в современной математике, физике и их приложениях.


  1. Неопределённый интеграл
  Определение 1. Первообра́зной функции y = f (x) называется такая функция y = F (x), что
                                 F ′ (x) = f (x), или dF (x) = f dx.
  Оказывается, что если некоторая функция обладает первообразной, то их бесконечно много.
  Теорема 1. Пусть y = F (x) и y = F̄ (x) — первообразные функции y = f (x). Тогда
                                          F (x) − F̄ (x) = c,
где c — постоянная. Обратно, если y = F (x) — первообразная функции y = f (x), то и любая
функция вида F (x) + c также является её первообразной.
  Выражение вида F (x) + c, где F (x) — некоторая первообразнаяRфункции y = f (x), называется
неопределённым интегралом этой функции и обозначается через f (x) dx. Таким образом,
                                     Z
                                       f (x) dx = F (x) + c,

где F (x) — первообразная, а c — постоянная. Выражение f (x) dx называется подынтегральным
выражением, а функция f (x) — подынтегральной функцией.
  Предложение 1 (простейшие свойства неопределённого интеграла). Справедливы следующие
равенства:
      R            ′
   1)      f (x) dx = f (x), или
        R           
   2) d      f (x) dx = f (x) dx;
      R
   3) R f ′ (x) dx = f (x) + c, или
   4) df (x) = f (x) + c.

Задача о площади. Покажем, каким образом понятие первообразной связано с вычислением
площадей. Пусть y = f (x) — некоторая непрерывная функция и F (x) — площадь1 фигуры, огра-
ниченной
   1) снизу отрезком [x0 , x];
   2) слева отрезком [x0 , f (x0 )];
   3) справа отрезком [x, f (x)];
   4) сверху графиком функции y = f (x) на отрезке [x, x0 ].
Эта фигура называется криволинейной трапецией. Если отрезок [x0 , x] увеличить на ∆x и ввести
обозначения
                               m = min f (x),   M = max f (x),
                                   [x,x+∆x]                 [x,x+∆x]
то для приращения площади будут выполняться неравенства
                                      m∆x 6 ∆F (x) 6 M ∆x,
  1Мы ещё не знаем, что такое площадь, и поэтому наши рассуждения носят неформальный характер.
                                                    1

Страницы