ВУЗ:
Рубрика:
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3
Теперь мы изучим важнейшие свойства неопределённых интегралов, необходимые для их вы-
числения.
Предложение 2. Пусть функции f (x) и g(x) обладают первообразными. Тогда:
1)
R
af(x) dx = a
R
f(x) dx, где a 6= 0 — постоянная.
2)
R
(f(x) ± g(x)) dx =
R
f(x) dx ±
R
g(x) dx.
3) Если
R
f(x) dx = F (x) + c, то
R
f(ax + b) dx =
1
a
F (ax + b) + c, где a 6= 0 — постоянная.
Пример 2. Покажем, как, пользуясь сформулированными свойствами, можно вычислить неко-
торые интегралы:
Z
n
X
i=0
a
i
x
i
dx =
n
X
i=1
a
i
i + 1
x
i+1
+ c,
Z
dx
√
a
2
− x
2
=
1
a
Z
dx
p
1 − (
x
a
)
2
= arcsin
x
a
+ c,
Z
dx
x
2
+ a
2
=
1
a
2
Z
dx
1 + (
x
a
)
2
=
1
a
arctg
x
a
+ c,
Z
dx
x
2
− a
2
=
1
2a
Z
dx
x − a
−
Z
dx
x + a
=
1
2a
ln
x − a
x + a
+ c,
Z
cos
2
mx dx =
1
2
Z
(1 + cos 2mx) dx =
1
2
x +
1
4m
sin 2mx + c,
Z
sin
2
mx dx =
1
2
Z
(1 − cos 2mx) dx =
1
2
x −
1
4m
sin 2mx + c.
Теорема 3 (замена переменных). Пусть
Z
f(t) dt = F (t) + c.
Тогда
Z
f(g(x))g
′
(x) dx = F (g(x)) + c, (13)
или
Z
f(g(x)) dg(x) = F (g(x)) + c. (14)
Пример 3. Покажем, как вычислять некоторые интегралы, пользуясь т еоремой 3.
1) Рассмотрим
R
sin
m
x cos x dx. Поскольку cos x dx = d sin x, имеем, полагая sin x = t,
Z
sin
m
x cos x dx =
Z
sin
m
x d sin x =
Z
t
m
dt =
t
m+1
m + 1
+ c =
sin
m+1
x
m + 1
+ c.
2) Вычислим
R
√
a
2
− x
2
dx. Положим x = a sin t. Тогда
p
a
2
− x
2
= a cos t, dx = a cos t.
Поэтому
Z
p
a
2
− x
2
dx = a
2
Z
cos
2
t dt = a
2
1
2
t +
1
4
sin 2t
+ c.
Но
a
2
1
4
sin 2t =
1
2
a sin t · a cos t =
1
2
x
p
a
2
− x
2
,
и поэтому
Z
p
a
2
− x
2
dx =
1
2
x
p
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ c.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3
Теперь мы изучим важнейшие свойства неопределённых интегралов, необходимые для их вы-
числения.
Предложение 2. Пусть функции f (x) и g(x) обладают первообразными. Тогда:
R R
1) R af (x) dx = a f (x)Rdx, где a 6=R 0 — постоянная.
2) (f (x)R ± g(x)) dx = f (x) dx ±R g(x) dx.
3) Если f (x) dx = F (x) + c, то f (ax + b) dx = a1 F (ax + b) + c, где a 6= 0 — постоянная.
Пример 2. Покажем, как, пользуясь сформулированными свойствами, можно вычислить неко-
торые интегралы:
Z Xn n
X ai i+1
ai xi dx = x + c,
i+1
Z i=0 i=1
1
Z
dx dx x
√ = p x 2
= arcsin + c,
2
a −x 2 a 1 − (a) a
1 1
Z Z
dx dx x
= 2 = arctg + c,
x2 + a2 a 1 + ( xa )2 a a
Z
1 1 x−a
Z Z
dx dx dx
2 2
= − = ln + c,
x −a 2a x−a x+a 2a x+a
1 1 1
Z Z
2
cos mx dx = (1 + cos 2mx) dx = x + sin 2mx + c,
2 2 4m
1 1 1
Z Z
sin2 mx dx = (1 − cos 2mx) dx = x − sin 2mx + c.
2 2 4m
Теорема 3 (замена переменных). Пусть
Z
f (t) dt = F (t) + c.
Тогда Z
f (g(x))g′ (x) dx = F (g(x)) + c, (13)
или Z
f (g(x)) dg(x) = F (g(x)) + c. (14)
Пример 3. Покажем, как вычислять некоторые интегралы, пользуясь теоремой 3.
1) Рассмотрим sinm x cos x dx. Поскольку cos x dx = d sin x, имеем, полагая sin x = t,
R
tm+1 sinm+1 x
Z Z Z
sinm x cos x dx = sinm x d sin x = tm dt = +c= + c.
m+1 m+1
R√
2) Вычислим a2 − x2 dx. Положим x = a sin t. Тогда
p
a2 − x2 = a cos t, dx = a cos t.
Поэтому Z p Z 1 1
2
a2 − x2 dx =a cos2 t dt = a2 t+ sin 2t + c.
2 4
Но
1 1 1 p
a2 sin 2t = a sin t · a cos t = x a2 − x2 ,
4 2 2
и поэтому
1 p a2
Z p
x
a2 − x2 dx = x a2 − x2 + arcsin + c.
2 2 a
