Интегральное исчисление - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Значит, как это следует из примера 25, 0 < K 6
π
2
. С помощью очень непростых искусственных
приёмов, которые выходят за рамки нашего курса, можно показать, что
Z
+∞
0
e
−x
2
dx =
√
π
2
. (76)
6. Приближённые вычисления определённого интеграла
Поскольку далеко не все (а точнее, большинство) определённые интегралы можно вычислить,
используя известные (элементарные) функции, для практических целей используют приближён-
ные методы.
Итак, пусть требуется вычислить интеграл
Z
b
a
f(x) dx; (77)
мы будем предполагать, что (77 ) — собственный интеграл.
Метод трапеций. Этот метод основан на разбиении отрезка интегрирования [a, b] на n равных
частей,
a = x
0
, x
1
, . . . , x
n
= b, x
i+1
− x
i
= h =
b − a
n
,
и замене каждой «маленькой» криволинейной трапеции на участке [x
i
, x
i+1
] «настоящей» прямо-
линейной. В силу определения 2, площадь получаемой фигуры приблизительно равна интегра-
лу (77), так что мы имеем
Z
b
a
f(x) dx ∼
b − a
n
·
f(a) + f (b)
2
+ f(x
1
) + ··· + f (x
n−1
)
. (78)
Формула (78) называется формулой т рапеций.
Поскольку формула трапеций даёт лишь оценку, приближённое значение искомого интеграла,
важно оценить, какова её точность. Пусть ε — разность между левой и правой частями в соот-
ношении (78). Тогда можно показать, что если подынтегральная функция имеет непрерывные
первую и вторую производные на отрезке [a, b], то справедливо неравенство
|ε| 6
|b − a|
3
12n
2
· max
[a,b]
|f
′′
(x)|. (79)
Это и есть оценка точности вычисления интеграла (77) по формуле трапеций.
Метод Симпсона. Метод Симпсона также основан на разбиении отрезка интегрирования на n
равных частей, а затем каждого из полученных отрезков — пополам (в итоге весь отрезок разбива-
ется на 2n частей). Интегрируемая функция заменяется в этом случае дугой параболы, проходя-
щей через три соседних точки с номерами 2i, 2i+1 и 2i+2. Получаемое при этом приблизительное
значение интеграла имеет вид
Z
b
a
f(x) dx ∼
b − a
6n
·
(f(a) + f(b)) + +2(f (x
2
) + ··· + f (x
2n−2
)) + 4(f(x
1
) + ··· + f (x
2n−1
)
. (80)
Это — так называемая параболическая формула, или формула Симпсона.
Если подынтегральная функция обладает первыми четырьмя непрерывными производными,
то точность вычислений оценивается по формуле
|ε| 6
|b − a|
5
180 · (2n)
4
· max
[a,b]
|f
(4)
(x)|. (81)
26                                      ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Значит, как это следует из примера 25, 0 < K 6 π2 . С помощью очень непростых искусственных
приёмов, которые выходят за рамки нашего курса, можно показать, что
                                     Z +∞             √
                                            −x2         π
                                           e    dx =      .                             (76)
                                       0               2


     6. Приближённые вычисления определённого интеграла
  Поскольку далеко не все (а точнее, большинство) определённые интегралы можно вычислить,
используя известные (элементарные) функции, для практических целей используют приближён-
ные методы.
  Итак, пусть требуется вычислить интеграл
                                         Z b
                                             f (x) dx;                               (77)
                                                     a
мы будем предполагать, что (77) — собственный интеграл.
Метод трапеций. Этот метод основан на разбиении отрезка интегрирования [a, b] на n равных
частей,
                                                                             b−a
                         a = x0 , x1 , . . . , xn = b,  xi+1 − xi = h =           ,
                                                                              n
и замене каждой «маленькой» криволинейной трапеции на участке [xi , xi+1 ] «настоящей» прямо-
линейной. В силу определения 2, площадь получаемой фигуры приблизительно равна интегра-
лу (77), так что мы имеем
                   Z b
                                   b − a  f (a) + f (b)                               
                       f (x) dx ∼             ·           + f (x1 ) + · · · + f (xn−1 ) . (78)
                     a                n               2
Формула (78) называется формулой трапеций.
   Поскольку формула трапеций даёт лишь оценку, приближённое значение искомого интеграла,
важно оценить, какова её точность. Пусть ε — разность между левой и правой частями в соот-
ношении (78). Тогда можно показать, что если подынтегральная функция имеет непрерывные
первую и вторую производные на отрезке [a, b], то справедливо неравенство
                                                 |b − a|3
                                         |ε| 6            · max |f ′′ (x)|.                                 (79)
                                                   12n2     [a,b]

Это и есть оценка точности вычисления интеграла (77) по формуле трапеций.

Метод Симпсона. Метод Симпсона также основан на разбиении отрезка интегрирования на n
равных частей, а затем каждого из полученных отрезков — пополам (в итоге весь отрезок разбива-
ется на 2n частей). Интегрируемая функция заменяется в этом случае дугой параболы, проходя-
щей через три соседних точки с номерами 2i, 2i+1 и 2i+2. Получаемое при этом приблизительное
значение интеграла имеет вид
 Z b
                b−a                                                                                      
     f (x) dx ∼      · (f (a) + f (b)) + +2(f (x2 ) + · · · + f (x2n−2 )) + 4(f (x1 ) + · · · + f (x2n−1 ) . (80)
   a             6n
Это — так называемая параболическая формула, или формула Симпсона.
  Если подынтегральная функция обладает первыми четырьмя непрерывными производными,
то точность вычислений оценивается по формуле
                                                |b − a|5
                                       |ε| 6              · max |f (4) (x)|.                                (81)
                                               180 · (2n)4 [a,b]

Страницы