Интегральное исчисление - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

22 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4) Если интегралы
R
+∞
a
f(x) dx и
R
+∞
a
g(x) dx сходятся, то сходятся и интегралы
R
+∞
a
f(x) ±
g(x)
dx, причём
Z
+∞
a
f(x) ± g(x)
dx =
Z
+∞
a
f(x) dx ±
Z
+∞
a
g(x) dx.
Если подынтегральная функция не произвольна, а неотрицательна на всей полупрямой [a, +∞),
то выполняется следующий критерий сходимости:
Предложение 13. Для сходимости интеграла
R
+∞
a
f(x) dx в случае неотрицательной функ-
ции f необходимо и достаточно, чтобы
∃λ ∈ R :
Z
b
a
f(x) dx 6 λ для ∀b > a.
Если это условие не выполнено, то рассматриваемый интеграл равен +∞.
Для положительных функций справедливы также две важные те о ремы сравнения.
Теорема 14. Если на полупрямой [a, +∞) заданы функции f(x) и g(x), причём 0 < f(x) 6
g(x), то из сходимости интеграла
R
+∞
a
g(x) dx следует сходимость
R
+∞
a
f(x) dx, а из расходимо-
сти
R
+∞
a
f(x) dx следует расходимость интеграла
R
+∞
a
g(x) dx.
Теорема 15. Пусть f(x) и g(x) — две положительные функции, определённые на полупря -
мой [a, +∞). Если существует предел
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= K, 0 6 K 6 +∞.
В этом случае из сходимости интеграла
R
+∞
a
g(x) dx при K < +∞ следует сходимость инте-
грала
R
+∞
a
f(x) dx, а из расходимости интеграла
R
+∞
a
g(x) dx при K > 0 следует расходимость
интеграла
R
+∞
a
f(x) dx. В частности, при 0 < K < +∞ оба интеграла сходятся или расходятся
одновременно.
Из этих утверждений и примера 24 вытекают полезные следствия.
Следствие 3. Пусть на полупрямой [a, +∞) функция f (x) представляется в виде
f(x) =
g(x)
x
λ
.
Тогда:
1) если λ > 1 и g(x) — ограниченная сверху функция, то интеграл
R
+∞
a
f(x) dx сходится;
2) если λ 6 1 и g(x) > c > 0, то этот интеграл расходится.
Следствие 4. Если при x → +∞ функция f (x) эквивалентна функции
1
x
λ
, то несобственный
интеграл
R
+∞
a
f(x) dx сходится при λ > 1 и расходится λ 6 1.
Заметим, что из теоремы Больцано–Коши вытекает следующий общий критерий сходимости
несобственных интегралов.
Предложение 14. Для сходимости интеграла
R
+∞
a
f(x) dx необходимо и достаточно, чтобы
для любого числа ε > 0 нашлось такое число b
0
> a, чтобы при всех b, b
′
> b
0
выполнялось
неравенство
Z
b
′
b
f(x) dx
< ε.
Следствие 5. Если сходится интеграл
R
+∞
a
|f(x)|dx, то сходится и интеграл
R
+∞
a
f(x) dx.
Интегралы, удовлетворяющие условиям следствия 5, называются абсолютно сходящимися.
22                                ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
                        R +∞           R +∞                                     R +∞
     4) Если интегралы a f (x) dx и a g(x) dx сходятся, то сходятся и интегралы a   f (x) ±
        g(x) dx, причём
                       Z +∞                    Z +∞            Z +∞
                                          
                             f (x) ± g(x) dx =      f (x) dx ±      g(x) dx.
                        a                              a               a

  Если подынтегральная функция не произвольна, а неотрицательна на всей полупрямой [a, +∞),
то выполняется следующий критерий сходимости:
                                                   R +∞
  Предложение 13. Для сходимости интеграла a f (x) dx в случае неотрицательной функ-
ции f необходимо и достаточно, чтобы
                                      Z b
                             ∃λ ∈ R :     f (x) dx 6 λ для ∀b > a.
                                           a
Если это условие не выполнено, то рассматриваемый интеграл равен +∞.
     Для положительных функций справедливы также две важные теоремы сравнения.
  Теорема 14. Если на полупрямойR +∞[a, +∞) заданы функции f (x)  и g(x), причём 0 < f (x) 6
                                                               R +∞
g(x), то из сходимости интеграла a g(x) dx следует сходимость a f (x) dx, а из расходимо-
    R +∞                                       R +∞
сти a f (x) dx следует расходимость интеграла a g(x) dx.
  Теорема 15. Пусть f (x) и g(x) — две положительные функции, определённые на полупря-
мой [a, +∞). Если существует предел
                                       f (x)
                                 lim           = K,          0 6 K 6 +∞.
                                x→+∞ g(x)
                                               R +∞
В этом случае из сходимости интеграла a g(x) dx при K < +∞ следует сходимость инте-
      R +∞                                   R +∞
грала a f (x) dx, а из расходимости интеграла a g(x) dx при K > 0 следует расходимость
          R +∞
интеграла a f (x) dx. В частности, при 0 < K < +∞ оба интеграла сходятся или расходятся
одновременно.
     Из этих утверждений и примера 24 вытекают полезные следствия.
     Следствие 3. Пусть на полупрямой [a, +∞) функция f (x) представляется в виде
                                                           g(x)
                                               f (x) =          .
                                                            xλ
Тогда:
                                                                  R +∞
   1) если λ > 1 и g(x) — ограниченная сверху функция, то интеграл a f (x) dx сходится;
   2) если λ 6 1 и g(x) > c > 0, то этот интеграл расходится.
                                                                                      1
  Следствие 4. Если при x → +∞ функция f (x) эквивалентна функции                    xλ
                                                                                        ,   то несобственный
        R +∞
интеграл a f (x) dx сходится при λ > 1 и расходится λ 6 1.
  Заметим, что из теоремы Больцано–Коши вытекает следующий общий критерий сходимости
несобственных интегралов.
                                                R +∞
  Предложение 14. Для сходимости интеграла a f (x) dx необходимо и достаточно, чтобы
для любого числа ε > 0 нашлось такое число b0 > a, чтобы при всех b, b′ > b0 выполнялось
неравенство
                                    Z b′
                                         f (x) dx < ε.
                                               b
                                               R +∞                                         R +∞
     Следствие 5. Если сходится интеграл           a   |f (x)| dx, то сходится и интеграл    a     f (x) dx.
     Интегралы, удовлетворяющие условиям следствия 5, называются абсолютно сходящимися.

Страницы