ВУЗ:
Рубрика:
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 23
Интегралы от неограниченных функций. Рассмотрим теперь второй случай, когда возни-
кают несобственные интегралы. Пусть дан отрезок [a, b], и предположим, что функция y = f(x)
интегрируема на любом отрезке [a, b − ε], 0 < ε < b − a.
Определение 6. Конечный или бесконечный предел
Z
b
a
f(x) dx = lim
ε→0
Z
b−ε
a
f(x) dx (72)
если он существует, называется (несобственным) интегралом функции f (x) в рассматриваемом
промежутке. Если предел конечен, то интеграл называетсясходящимся.
Замечание 8. То, что функция интегрируема на любом отрезке [a, b −ε], но не интегрируема
на всём отрезке [a, b], означает, что lim
x→b
f(x) = ∞. Такая точка называется особ о й .
Аналогичным образом определяется несобственный интеграл, если функция стремится к беско-
нечности на левом конце отрезка интегрирования или на обоих его концах. Теория несобственных
интегралов от неограниченных функций вполне аналогична рассмотренной выше теории интегри-
рования на бесконечных промежутках. Приводимые ниже свойства, как легко заметить, почти
дословно повторяют уже известные.
Предложение 15. Пусть F (x) — первообразная подынтегральной функции. Тогда несобствен-
ный интеграл
R
b
a
f(x) dx существует в том и только в том случае, если существует предел lim
x→b
F (x),
причём
Z
b
a
f(x) dx = lim
x→b
F (x) −F (a). (73)
Предложение 16. Для сходимости интеграла
R
b
a
f(x) dx в случае неотрицательной функции f
необходимо и достаточно, чтобы
∃λ ∈ R :
Z
b−ε
a
f(x) dx 6 λ для ∀ε > 0, ε < b −a.
Если это условие не выполнено, то рассматриваемый интеграл равен +∞.
Следствие 6. Пусть на отрезке [a + ε, b] функция f (x) представляется в виде
f(x) =
g(x)
(x − b)
λ
, λ > 0.
Тогда:
1) если λ < 1 и g(x) — ограниченная сверху функция, то интеграл
R
b
a
f(x) dx сходится;
2) если λ > 1 g(x) > c > 0, то этот интеграл расходится.
Следствие 7. Если при x → b функция f(x) эквивалентна функции
1
(x−b)
λ
, λ > 0, то несоб-
ственный интеграл
R
b
a
f(x) dx сходится при λ < 1 и расходится λ > 1.
Предложение 17. Для сходимости интеграла
R
b
a
f(x) dx необходимо и достаточно, чтобы для
любого числа ε > 0 нашлось такое число δ > 0, чтобы при всех η, η
′
, 0 < η, η
′
< δ, выполнялось
неравенство
Z
b−η
′
b−η
f(x) dx
< ε.
Следствие 8. Если сходится интеграл
R
b
a
|f(x)|dx, то сходится и интеграл
R
b
a
f(x) dx.
Как и выше, интегралы, удовлетворяющие условиям следствия 8, называются абсолютно схо-
дящимися.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 23
Интегралы от неограниченных функций. Рассмотрим теперь второй случай, когда возни-
кают несобственные интегралы. Пусть дан отрезок [a, b], и предположим, что функция y = f (x)
интегрируема на любом отрезке [a, b − ε], 0 < ε < b − a.
Определение 6. Конечный или бесконечный предел
Z b Z b−ε
f (x) dx = lim f (x) dx (72)
a ε→0 a
если он существует, называется (несобственным) интегралом функции f (x) в рассматриваемом
промежутке. Если предел конечен, то интеграл называетсясходящимся.
Замечание 8. То, что функция интегрируема на любом отрезке [a, b − ε], но не интегрируема
на всём отрезке [a, b], означает, что lim f (x) = ∞. Такая точка называется особой.
x→b
Аналогичным образом определяется несобственный интеграл, если функция стремится к беско-
нечности на левом конце отрезка интегрирования или на обоих его концах. Теория несобственных
интегралов от неограниченных функций вполне аналогична рассмотренной выше теории интегри-
рования на бесконечных промежутках. Приводимые ниже свойства, как легко заметить, почти
дословно повторяют уже известные.
Предложение 15. Пусть F (x) — первообразная подынтегральной функции. Тогда несобствен-
Rb
ный интеграл a f (x) dx существует в том и только в том случае, если существует предел lim F (x),
x→b
причём
Z b
f (x) dx = lim F (x) − F (a). (73)
a x→b
Rb
Предложение 16. Для сходимости интеграла a f (x) dx в случае неотрицательной функции f
необходимо и достаточно, чтобы
Z b−ε
∃λ ∈ R : f (x) dx 6 λ для ∀ε > 0, ε < b − a.
a
Если это условие не выполнено, то рассматриваемый интеграл равен +∞.
Следствие 6. Пусть на отрезке [a + ε, b] функция f (x) представляется в виде
g(x)
f (x) = , λ > 0.
(x − b)λ
Тогда:
Rb
1) если λ < 1 и g(x) — ограниченная сверху функция, то интеграл a f (x) dx сходится;
2) если λ > 1 g(x) > c > 0, то этот интеграл расходится.
1
Следствие 7. Если при x → b функция f (x) эквивалентна функции (x−b) λ , λ > 0, то несоб-
Rb
ственный интеграл a f (x) dx сходится при λ < 1 и расходится λ > 1.
Rb
Предложение 17. Для сходимости интеграла a f (x) dx необходимо и достаточно, чтобы для
любого числа ε > 0 нашлось такое число δ > 0, чтобы при всех η, η ′ , 0 < η, η ′ < δ, выполнялось
неравенство
Z b−η′
f (x) dx < ε.
b−η
Rb Rb
Следствие 8. Если сходится интеграл a |f (x)| dx, то сходится и интеграл a f (x) dx.
Как и выше, интегралы, удовлетворяющие условиям следствия 8, называются абсолютно схо-
дящимися.
