Интегральное исчисление - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 21
5. Несобственные интегралы
Всюду выше, говоря об определённом интеграле
R
b
a
f(x) dx, мы предполагали, что (a) интервал
интегрирования конечен и (b) подынтегральная функция ограничена на этом интервале. Теорию
интеграла можно развить и без этих ограничений. Такие интегралы называются несобственными.
Интегралы с бесконечными пределами.
Определение 5. Пусть функция y = f (x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема
на любом конечном отрезке [a, b], a 6 b. Предел (конечный или бесконечный)
Z
+∞
a
f(x) dx = lim
b→+∞
Z
b
a
f(x) dx, (68)
если он существует, называется (несобственным) интегралом функции f (x) в рассматриваемом
промежутке. Если предел конечен, то интеграл называетсясходящимся.
Аналогичным образом определяется несобственный интеграл вида
R
a
−∞
f(x) dx. Кроме того,
рассматривают интегралы
Z
+∞
−∞
f(x) dx =
Z
a
−∞
f(x) dx +
Z
+∞
a
f(x) dx. (69)
Заметим, что определение (69) не зависит от выбора точки a ∈ R.
Рассмотрим основные свойства несобственных интегралов.
Предложение 11. Пусть F (x) — первообразная подынтегральной функции. Тогда несобствен-
ный интеграл
R
+∞
a
f(x) dx существует в том и только в том случае, если существует предел lim
b→+∞
F (b),
причём
Z
+∞
a
f(x) dx = lim
b→+∞
F (b) − F (a). (70)
Аналогичные утверждения справедливы и для интегралов
R
a
−∞
f(x) dx и
R
+∞
−∞
f(x) dx.
Пример 24. Рассмотрим несобственный интеграл
Z
+∞
a
x
µ
dx. (71)
В силу предложения 11
Z
+∞
a
x
µ
dx =
1
µ + 1
lim
b→+∞
b
µ+1
− a
µ+1
,
и поэтому интеграл (71 ) сходится тогда и только тогда, когда µ < −1.
Рассмотрим простейшие свойства несобственных интегралов.
Предложение 12. Пусть y = f (x) — функция, определённая на полупрямой [a, +∞). Тогда:
1) Если сходится интеграл
R
+∞
a
f(x) dx, то сходится и интеграл
R
+∞
a
′
f(x) dx, a
′
> a, и наобо-
рот. При этом
Z
+∞
a
f(x) dx =
Z
a
′
a
f(x) dx +
Z
+∞
a
′
f(x) dx.
2) Если интеграл
R
+∞
a
f(x) dx сходится, то
lim
a
′
→+∞
R
+∞
a
′
f(x) dx = 0.
3) Из сходимости интеграла
R
+∞
a
f(x) dx следует сходимость интеграла
R
+∞
a
c·f(x) dx, где c —
постоянная, причём
Z
+∞
a
c · f (x) dx = c ·
Z
+∞
a
f(x) dx.
                                        ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ                                                            21

  5. Несобственные интегралы
                                                 Rb
  Всюду выше, говоря об определённом интеграле a f (x) dx, мы предполагали, что (a) интервал
интегрирования конечен и (b) подынтегральная функция ограничена на этом интервале. Теорию
интеграла можно развить и без этих ограничений. Такие интегралы называются несобственными.
Интегралы с бесконечными пределами.
  Определение 5. Пусть функция y = f (x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема
на любом конечном отрезке [a, b], a 6 b. Предел (конечный или бесконечный)
                                Z +∞                 Z b
                                      f (x) dx = lim     f (x) dx,                  (68)
                                     a                  b→+∞ a

если он существует, называется (несобственным) интегралом функции f (x) в рассматриваемом
промежутке. Если предел конечен, то интеграл называетсясходящимся.R
                                                                         a
  Аналогичным образом определяется несобственный интеграл вида −∞ f (x) dx. Кроме того,
рассматривают интегралы
                          Z +∞             Z a            Z +∞
                                f (x) dx =     f (x) dx +      f (x) dx.              (69)
                           −∞                      −∞                   a
Заметим, что определение (69) не зависит от выбора точки a ∈ R.
  Рассмотрим основные свойства несобственных интегралов.

            R +∞ 11. Пусть F (x) — первообразная подынтегральной функции. Тогда несобствен-
  Предложение
ный интеграл a f (x) dx существует в том и только в том случае, если существует предел lim F (b),
                                                                                                                    b→+∞
причём                          Z       +∞
                                             f (x) dx = lim F (b) − F (a).                                            (70)
                                    a                   b→+∞
                                                                            Ra                 R +∞
  Аналогичные утверждения справедливы и для интегралов                       −∞ f (x) dx   и       −∞   f (x) dx.
  Пример 24. Рассмотрим несобственный интеграл
                                      Z +∞
                                           xµ dx.                                                                     (71)
                                                   a
В силу предложения 11
                                +∞
                                           1 
                            Z                                   
                                        xµ dx =  lim bµ+1 − aµ+1 ,
                             a           µ + 1 b→+∞
и поэтому интеграл (71) сходится тогда и только тогда, когда µ < −1.
  Рассмотрим простейшие свойства несобственных интегралов.
  Предложение 12. Пусть y = f (x) — функция, определённая на полупрямой [a, +∞). Тогда:
                            R +∞                                      R +∞
   1) Если сходится интеграл a f (x) dx, то сходится и интеграл a′ f (x) dx, a′ > a, и наобо-
      рот. При этом
                         Z +∞             Z a′            Z +∞
                              f (x) dx =       f (x) dx +      f (x) dx.
                    R +∞ a                 a               a′
   2) Если интеграл a f (x) dx сходится, то
                                           R +∞
                                      lim   a′   f (x) dx = 0.
                                    ′     a →+∞
                                R +∞                                                       R +∞
   3) Из сходимости интеграла a           f (x) dx следует сходимость интеграла                a    c·f (x) dx, где c —
      постоянная, причём     Z       +∞                        Z   +∞
                                          c · f (x) dx = c ·            f (x) dx.
                                 a                             a

Страницы