ВУЗ:
Рубрика:
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 19
Пример 20. Пусть дано параметрическое уравнение прямой
x = At + α, y = Bt + β, A
2
+ B
2
6= 0.
Тогда длина отрезка, соответствующего значениям параметра t = t
0
и t = t
1
, по формуле (57)
есть
s =
Z
t
1
t
0
p
A
2
+ B
2
dt = (t
1
− t
0
)
p
A
2
+ B
2
.
Если прямая задаётся уравнением
y = kx + b,
то по формуле (58)
s =
Z
x
1
x
0
p
1 + k
2
dx = (x
1
− x
0
)
p
1 + k
2
,
как и следовало ожидать.
Пример 21. Длина дуги параболы
y =
x
2
2p
при x ∈ [0, a], a > 0, вычисляется по формуле
s =
Z
a
0
s
1 +
x
2
p
2
dx =
1
p
1
2
x
p
p
2
+ x
2
+
p
2
2
ln(x +
p
p
2
+ x
2
)
a
0
=
=
a
2p
p
p
2
+ a
2
+
p
2
ln
a +
p
p
2
+ a
2
p
.
Пример 22. Длина дуги архимедовой спирали r = pϕ при изменении полярного угла от нуля
до значения ϕ = a в силу формулы (59) равна
s =
Z
a
0
p
p
2
+ p
2
ϕ
2
dϕ =
p
2
a
p
1 + a
2
+ ln(a +
p
1 + a
2
)
.
Пример 23. Рассмотрим задачу вычисления длины полной дуги эллипса, заданного парамет-
рически уравнениями
x = a cos t, y = b sin t, a > b, 0 6 t 6 2π.
Поскольку
˙x
2
+ ˙y
2
= a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
t = a
2
(1 − ε
2
cos
2
t),
где ε =
√
a
2
−b
2
a
, и, таким образом,
s = a
Z
2π
0
(1 − ε
2
cos
2
t) dt.
Это — так называемый эллиптический интеграл второго рода. Вообще говоря, такие интегралы
не вычисляются в элементарных функциях. Исключение составляет случай a = b = R (т.е. ε = 0).
Тогда, очевидно, s = 2πR, и мы приходим к известной из школы формуле длины окружности.
Замечание 7. Если есть пространственная кривая, заданная параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
то длина её дуги измеряется интегралом
s =
Z
b
a
p
˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
dt. (60)
Физические и механические приложения . Из многочисленных приложений определённого
интеграла в физике и механике мы рассмотрим три — нахождение центра тяжести и статических
моментов и определение механической работы.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 19
Пример 20. Пусть дано параметрическое уравнение прямой
x = At + α, y = Bt + β, A2 + B 2 6= 0.
Тогда длина отрезка, соответствующего значениям параметра t = t0 и t = t1 , по формуле (57)
есть Z t1 p p
s= A2 + B 2 dt = (t1 − t0 ) A2 + B 2 .
t0
Если прямая задаётся уравнением
y = kx + b,
то по формуле (58) Z x1 p p
s= 1 + k2 dx = (x1 − x0 ) 1 + k2 ,
x0
как и следовало ожидать.
Пример 21. Длина дуги параболы
x2
y=
2p
при x ∈ [0, a], a > 0, вычисляется по формуле
Z as a
x2 p2
1 1 p 2 2
p
2 2
s= 1 + 2 dx = x p +x + ln(x + p + x ) =
0 p p 2 2 0
p
ap 2 p a+ p2 + a2
= p + a2 + ln .
2p 2 p
Пример 22. Длина дуги архимедовой спирали r = pϕ при изменении полярного угла от нуля
до значения ϕ = a в силу формулы (59) равна
Z ap
p p p
s= p2 + p2 ϕ2 dϕ = a 1 + a2 + ln(a + 1 + a2 ) .
0 2
Пример 23. Рассмотрим задачу вычисления длины полной дуги эллипса, заданного парамет-
рически уравнениями
x = a cos t, y = b sin t, a > b, 0 6 t 6 2π.
Поскольку
ẋ2 + ẏ 2 = a2 sin2 t + b2 cos2 t = a2 (1 − ε2 cos2 t),
√
a2 −b2
где ε = a , и, таким образом,
Z 2π
s=a (1 − ε2 cos2 t) dt.
0
Это — так называемый эллиптический интеграл второго рода. Вообще говоря, такие интегралы
не вычисляются в элементарных функциях. Исключение составляет случай a = b = R (т.е. ε = 0).
Тогда, очевидно, s = 2πR, и мы приходим к известной из школы формуле длины окружности.
Замечание 7. Если есть пространственная кривая, заданная параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
то длина её дуги измеряется интегралом
Z bp
s= ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt. (60)
a
Физические и механические приложения. Из многочисленных приложений определённого
интеграла в физике и механике мы рассмотрим три — нахождение центра тяжести и статических
моментов и определение механической работы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
