Интегральное исчисление - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 17
Пример 16 (площадь фигуры, ограниченной эллипсом). Рассмотрим эллипс, заданный кано-
ническим уравнением
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
В силу сказанного выше, площадь ограниченного им множества есть
S = 2
Z
a
−a
b
a
p
a
2
− x
2
dx.
Воспользовавшись вычислениями из примера 3, получаем
S = (ab arcsin
x
a
+
b
a
x
p
a
2
− x
2
)
a
−a
= π ab.
В частности, при a = b = R получаем площадь круга радиуса R, равную πR
2
.
Замечание 5. Если кривая, ограничивающая некоторую область, задана параметрическими
уравнениями
x = x(t), y = y(t), t
0
6 t 6 t
1
,
то площадь соответствующей фигуры измеряется интегралом
S =
Z
t
1
t
0
y(t) ˙x(t) dt. (53)
Если же рассматривать кр иволинейный сектор, ограниченный углами ϕ
0
и ϕ
1
и кривой, заданной
в полярных координатах уравнением
r = r(ϕ),
то его площадь равна
S =
1
2
Z
ϕ
1
ϕ
0
r
2
(ϕ) dϕ. (54)
Пример 17. Если эллипс задан параметрическими уравнениями
x = a cos t, y = b sin t,
то ограниченная им площадь вычисляется по формуле
S = 2
Z
0
π
b sin t(−a sin t) dt = 2ab
Z
π
0
sin
2
t dt = πab,
и мы, естественно, приходим к тому же ответу, что и в примере 16.
Пример 18. Вычислим площадь первого витка архимедовой спирали r = aϕ. По формуле (54)
имеем
S =
1
2
Z
2π
0
a
2
ϕ
2
dϕ =
a
2
6
ϕ
3
2π
0
=
4
3
π
3
a
a
.
Объёмы тел вращения. Объёмы подмножеств трёхмерного пространства (то есть тел) опре-
деляются точно так же, как площади фигур, но вместо многоугольников нужно рассматривать
многогранники и их объёмы. Тело, чей объём определён, называется кубируемым.
Мы рассмотрим частный случай тел — тела, получаемые путём вращения криволинейных тра-
пеций вокруг оси абсцисс.
Теорема 12. Пусть тело N получено вращением криволинейной трапеции, описанной в теоре-
ме 11, вокруг оси абсцисс. Это тело кубируемо и его объём равен
V (N) = π
Z
b
a
f
2
(x) dx. (55)
                                   ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ                                     17

  Пример 16 (площадь фигуры, ограниченной эллипсом). Рассмотрим эллипс, заданный кано-
ническим уравнением
                                       x2 y 2
                                          + 2 = 1.
                                       a2    b
В силу сказанного выше, площадь ограниченного им множества есть
                                      Z a p
                                           b
                                 S=2           a2 − x2 dx.
                                        −a a
Воспользовавшись вычислениями из примера 3, получаем
                                                                          a
                                      x b p
                        S = (ab arcsin + x a2 − x2 )                           = πab.
                                      a a                                 −a

В частности, при a = b = R получаем площадь круга радиуса R, равную πR2 .
  Замечание 5. Если кривая, ограничивающая некоторую область, задана параметрическими
уравнениями
                          x = x(t), y = y(t),   t0 6 t 6 t1 ,
то площадь соответствующей фигуры измеряется интегралом
                                      Z t1
                                  S=       y(t)ẋ(t) dt.                                     (53)
                                              t0
Если же рассматривать криволинейный сектор, ограниченный углами ϕ0 и ϕ1 и кривой, заданной
в полярных координатах уравнением
                                        r = r(ϕ),
то его площадь равна
                                                    ϕ1
                                          1
                                              Z
                                       S=                r 2 (ϕ) dϕ.                         (54)
                                          2        ϕ0

  Пример 17. Если эллипс задан параметрическими уравнениями
                                    x = a cos t,            y = b sin t,
то ограниченная им площадь вычисляется по формуле
                          Z 0                            Z            π
                      S=2     b sin t(−a sin t) dt = 2ab                  sin2 t dt = πab,
                               π                                  0
и мы, естественно, приходим к тому же ответу, что и в примере 16.
  Пример 18. Вычислим площадь первого витка архимедовой спирали r = aϕ. По формуле (54)
имеем
                                                 2π
                            1 2π 2 2        a2 3      4
                              Z
                        S=        a ϕ dϕ =     ϕ    = π 3 aa .
                            2 0              6   0    3

Объёмы тел вращения. Объёмы подмножеств трёхмерного пространства (то есть тел) опре-
деляются точно так же, как площади фигур, но вместо многоугольников нужно рассматривать
многогранники и их объёмы. Тело, чей объём определён, называется кубируемым.
  Мы рассмотрим частный случай тел — тела, получаемые путём вращения криволинейных тра-
пеций вокруг оси абсцисс.
  Теорема 12. Пусть тело N получено вращением криволинейной трапеции, описанной в теоре-
ме 11, вокруг оси абсцисс. Это тело кубируемо и его объём равен
                                                Z b
                                     V (N ) = π     f 2 (x) dx.                     (55)
                                                        a

Страницы