Интегральное исчисление - 16 стр.

16                                  ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

  Следствием этих результатов, а также свойств неопределённого интеграла являются два важ-
ных приёма интегрирования.
                                                                         Rb
  Предложение 9 (замена переменных). Рассмотрим интеграл a f (x) dx, где y = f (x) — непре-
рывная на отрезке [a, b] функция. Предположим, что x = ϕ(t) и
   1) функция ϕ(t) определена и непрерывна на некотором отрезке [α, β];
   2) ϕ(t) ∈ [a, b] для любого t ∈ [α, β];
   3) ϕ(α) = a и ϕ(β) = b;
   4) на отрезке [α, β] существует непрерывная производная ϕ′ (t).
Тогда имеет место формула
                                  Z b             Z β
                                       f (x) dx =     f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt.               (51)
                                    a                   α

  Предложение 10 (интегрирование по частям). Пусть функции y = f (x) и y = g(x) определены
и непрерывны вместе со своими первыми производными на отрезке [a, b]. Тогда
                        Z b                               Z b
                                  ′                   b
                            f (x)g (x) dx = f (x)g(x)|a −     f ′ (x)g(x) dx.          (52)
                          a                                       a


     4. Приложения определённого интеграла
  Определённый интеграл находит широкое применение как в самой математике, так и её при-
ложениях — физике, механике и др. Рассмотрим некоторые из них.
Вычисление площадей. Рассмотрим подмножество точек плоскости M ⊂ R2 . Скажем, что это
множество ограничено, если найдётся такой замкнутый многоугольник P , что M ⊂ P .
  Пусть M — ограниченное множество (или, другими словами, фигура). Рассмотрим множе-
ство Int(M ), состоящее из всех замкнутых многоугольников, содержащихся в M , и множество
Out(M ), элементами которого являются всевозможные замкнутые многооугольники, содержа-
щие M . Обозначим через S(P ) площадь многоугольника P . Пусть
                        S(M ) =     sup        S(P ),       S(M ) =      inf       S(P ).
                                  P ∈Int(M )                          P ∈Out(M )

     Определение 3. Множество M называется квадрируемым, если
                                                s(M ) = s(M ).
Число S(M ) = s(M ) = s(M ) называется площадью этого множества.
     Отметим одно важное свойство площади, называемое аддитивностью:
  Теорема 10. Пусть M1 и M2 — квадрируемые множества. Тогда их объединение также квад-
рируемо, причём
                            S(M1 ∪ M2 ) = S(M1 ) + S(M2 ),
если M1 ∩ M2 = ∅.
     Не углубляясь в общую теорию квадрируемых множеств, сформулируем следующий результат:
  Теорема 11. Пусть y = f (x) — функция, непрерывная на отрезке [a, b] и f (x) > 0 в любой
точке x ∈ [a, b]. Тогда криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком этой функции,
снизу — осью абсцисс, а слева и справа — прямыми x = a и x = b, является квадрируемым
множеством и его площадь равна
                                         Z b
                                             f (x) dx.
                                                   a
  Теоремы 10 и 11 позволяют вычислять площади любых фигур, которые можно разбить на
криволинейные трапеции.