Интегральное исчисление - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

18 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 19 (эллипсоид вращения). Вращение эллипса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
вокруг оси абсцисс даёт тело, называемое эллипсоидом вращения. По формуле (55) его объём
равен
V = π
Z
a
−a
b
2
a
2
(a
2
− x
2
) dx = π
b
2
a
2
a
2
x −
x
3
3
a
−a
=
4
3
πab
2
.
В частности, при a = b = R получаем объём шара радиуса R:
4
3
πR
3
.
Длина дуги кривой. Рассмотрим на плоскости кривую, заданную параметрически уравнени-
ями
x = x(t), y = y(t)
и некоторый интервал изменения параметра [a, b]. Участок кривой, отвечающий значениям пара-
метра t ∈ [a, b] называется дугой. Рассмотрим разбиение отрезка [a, b]
a = t
0
6 t
1
6 ··· 6 t
n
= b
и точки
M
0
= (x(t
0
), y(t
0
)), M
1
= (x(t
1
), y(t
1
)), . . . , M
n
= (x(t
n
), y(t
n
)),
лежащие на рассматриваемой дуге. Пусть
s
i
=
p
(x(t
i+1
) − x(t
i
))
2
+ (y(t
i+1
) − y(t
i
))
2
, i = 0, . . . , n − 1,
— длина отрезка, соединяющего точку M
i
с точкой M
i+1
и λ = max s
i
.
Определение 4. Дуга кривой называется спрямляемой, если существует конечный предел
s = lim
λ→0
P
n−1
i=0
s
i
. (56)
Этот предел называется длиной дуги.
Теорема 13. Пусть дуга такова, что в каждой её точке функции x = x(t) и y = y(t) имеют
непрерывные производные по t. Тогда она спрямляема и её длина равна
s =
Z
b
a
p
˙x
2
+ ˙y
2
dt. (57)
Замечание 6. Если кривая задаётся уравнением
y = f(x),
то длина её дуги на участке от x = a до x = b вычисляется по формуле
s =
Z
b
a
p
1 + (f
′
x
(x))
2
dx, (58)
а если она задана в полярных координатах уравнением
r = r(ϕ),
то длина дуги при изменении полярного угла от ϕ = a до ϕ = b есть
s =
Z
b
a
q
r
2
(ϕ) + (r
′
ϕ
(ϕ))
2
dϕ. (59)
18                                     ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

     Пример 19 (эллипсоид вращения). Вращение эллипса
                                                     x2 y 2
                                                        + 2 =1
                                                     a2  b
вокруг оси абсцисс даёт тело, называемое эллипсоидом вращения. По формуле (55) его объём
равен
                          Z a 2                                   a
                              b     2    2          b2 2     x3     4
                    V =π        2
                                  (a  − x  ) dx = π  2
                                                       a x −        = πab2 .
                           −a a                     a        3 −a 3
В частности, при a = b = R получаем объём шара радиуса R: 43 πR3 .


Длина дуги кривой. Рассмотрим на плоскости кривую, заданную параметрически уравнени-
ями
                               x = x(t),   y = y(t)
и некоторый интервал изменения параметра [a, b]. Участок кривой, отвечающий значениям пара-
метра t ∈ [a, b] называется дугой. Рассмотрим разбиение отрезка [a, b]
                                         a = t0 6 t1 6 · · · 6 tn = b
и точки
                   M0 = (x(t0 ), y(t0 )), M1 = (x(t1 ), y(t1 )), . . . , Mn = (x(tn ), y(tn )),
лежащие на рассматриваемой дуге. Пусть
                   p
               si = (x(ti+1 ) − x(ti ))2 + (y(ti+1 ) − y(ti ))2 ,           i = 0, . . . , n − 1,
— длина отрезка, соединяющего точку Mi с точкой Mi+1 и λ = max si .

     Определение 4. Дуга кривой называется спрямляемой, если существует конечный предел
                                      s = lim n−1
                                             P
                                               i=0 si .                               (56)
                                                      λ→0

Этот предел называется длиной дуги.

  Теорема 13. Пусть дуга такова, что в каждой её точке функции x = x(t) и y = y(t) имеют
непрерывные производные по t. Тогда она спрямляема и её длина равна
                                        Z bp
                                    s=       ẋ2 + ẏ 2 dt.                          (57)
                                                     a

     Замечание 6. Если кривая задаётся уравнением
                                                     y = f (x),
то длина её дуги на участке от x = a до x = b вычисляется по формуле
                                       Z bp
                                   s=        1 + (fx′ (x))2 dx,                                     (58)
                                                 a
а если она задана в полярных координатах уравнением
                                                      r = r(ϕ),
то длина дуги при изменении полярного угла от ϕ = a до ϕ = b есть
                                   Z bq
                               s=       r 2 (ϕ) + (rϕ′ (ϕ))2 dϕ.                                    (59)
                                             a

Страницы