Интегральное исчисление - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

20 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Статические моменты. Напомним, что статическим моментом системы из n точек с масса-
ми m
1
, . . . , m
n
относительно некоторой прямой называется величина
K =
n
X
i=1
m
i
d
i
, (61)
где d
i
— расстояние от i-й точки до прямой.
Пусть теперь на плоскости задана кривая с параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b].
Будем считать, что на этой кривой распределена масса, причём её плотность равна единице, т.е. на
единицу длины кривой приходится единица массы. Тогда статические моменты этой кривой от-
носительно осей абсцисс и ординат будут измеряться интегралами
K
x
=
Z
b
a
y(t)
p
˙x
2
(t) + ˙y
2
(t) dt, K
y
=
Z
b
a
x(t)
p
˙x
2
(t) + ˙y
2
(t) dt (62)
соответственно.
Пусть теперь на плоскости задана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функ-
ции y = f (x) над отрезком [a, b] оси абсцисс. Тогда статический момент этой фигуры относительно
оси абсцисс есть
K
x
=
1
2
Z
b
a
f
2
(x) dx, (63)
а относительно оси ординат —
K
y
=
Z
b
a
xf(x) dx. (64)
Центр тяжести. Зная статические моменты тела, легко определить его центр тяжести, если
воспользоваться следующим свойством центра тяжести: если со средоточить всю массу тела в
центре тяжести, то момент э той массы относительно любой оси совпадёт с моментом всего
тела отн о с ительно этой оси. Обозначим через ξ и η координаты центра тяжести. Тогда, в силу
сказанного выше имеем для кривой
ξ =
R
b
a
x
p
˙x
2
+ ˙y
2
dt
R
b
a
p
˙x
2
+ ˙y
2
dt
, η =
R
b
a
y
p
˙x
2
+ ˙y
2
dt
R
b
a
p
˙x
2
+ ˙y
2
dt
(65)
и
ξ =
1
2
·
R
b
a
xf(x) dx
R
b
a
f(x) dx
, η =
R
b
a
f
2
(x) dx
R
b
a
f(x) dx
(66)
для криволинейной трапеции.
Механическая работа. Пусть точка движется по траектории
x = x(t), y = y(t)
и в каждой точке этой траектории на неё действует сила F = F (x, y), зависящая от положения
точки. Поскольку при постоянной силе работа есть sF , где s — пройденный путь, имеем
W =
Z
b
a
F (x(t), y(t))
p
˙x
2
+ ˙y
2
dt (67)
при произвольной силе.
20                                ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Статические моменты. Напомним, что статическим моментом системы из n точек с масса-
ми m1 , . . . , mn относительно некоторой прямой называется величина
                                                  n
                                                  X
                                            K=          mi di ,                              (61)
                                                  i=1

где di — расстояние от i-й точки до прямой.
  Пусть теперь на плоскости задана кривая с параметрическими уравнениями
                                x = x(t),   y = y(t),             t ∈ [a, b].
Будем считать, что на этой кривой распределена масса, причём её плотность равна единице, т.е. на
единицу длины кривой приходится единица массы. Тогда статические моменты этой кривой от-
носительно осей абсцисс и ординат будут измеряться интегралами
                      Z b     p                         Z b     p
                Kx =             2        2
                          y(t) ẋ (t) + ẏ (t) dt, Ky =     x(t) ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) dt      (62)
                       a                                            a
соответственно.
   Пусть теперь на плоскости задана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функ-
ции y = f (x) над отрезком [a, b] оси абсцисс. Тогда статический момент этой фигуры относительно
оси абсцисс есть
                                                1 b 2
                                                  Z
                                         Kx =         f (x) dx,                              (63)
                                                2 a
а относительно оси ординат —
                                                 Z b
                                          Ky =       xf (x) dx.                              (64)
                                                 a


Центр тяжести. Зная статические моменты тела, легко определить его центр тяжести, если
воспользоваться следующим свойством центра тяжести: если сосредоточить всю массу тела в
центре тяжести, то момент этой массы относительно любой оси совпадёт с моментом всего
тела относительно этой оси. Обозначим через ξ и η координаты центра тяжести. Тогда, в силу
сказанного выше имеем для кривой
                           Rb p                      Rb p
                                    2      2             y ẋ2 + ẏ 2 dt
                            a x ẋ + ẏ dt
                       ξ = Rbp                 , η = Ra b p                            (65)
                                 ẋ2 + ẏ 2 dt              ẋ2 + ẏ 2 dt
                             a                         a
и
                                   Rb                              Rb
                                1 a xf (x) dx                     f 2 (x) dx
                             ξ = · Rb          ,           η = Rab                           (66)
                                2
                                    a f (x) dx                   a f (x) dx
для криволинейной трапеции.

Механическая работа. Пусть точка движется по траектории
                                      x = x(t),          y = y(t)
и в каждой точке этой траектории на неё действует сила F = F (x, y), зависящая от положения
точки. Поскольку при постоянной силе работа есть sF , где s — пройденный путь, имеем
                                   Z b               p
                              W =      F (x(t), y(t)) ẋ2 + ẏ 2 dt                     (67)
                                       a
при произвольной силе.

Страницы