Интегральное исчисление - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 15
2) Функция y = |f(x)| также интегрируема и
Z
b
a
f(x) dx
6
Z
b
a
|f(x)|dx.
3) Если m 6 f (x) 6 M на всём отрезке, то
m(b − a) 6
Z
b
a
f(x) dx 6 M(b − a).
Из первого свойства также вытекает, что если f(x) 6 g(x) и g(x) — интегрируемая функция,
то
Z
b
a
f(x) dx 6
Z
b
a
g(x) dx.
Ещё одно свойство мы сформулируем в качестве отдельного утверждения:
Теорема 9 (теорема о среднем). Пусть функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и m 6
f(x) 6 M. Тогда
Z
b
a
f(x) dx = µ(b − a)
для некоторого числа µ, удовлетворяющему неравенствам m 6 µ 6 M .
Всюду выше мы предполагали, что пределы интегрирования в интеграле
R
b
a
f(x) dx являют-
ся фиксированными (постоянными) числами. Если, однако, один из этих пределов (например,
верхний) изменить, то, вообще говоря, изменится и значение самого интеграла. Таким образом,
определённый интеграл можно понимать как функцию верхнего предела:
F (x) =
Z
x
a
f(t) dt (46)
(очевидно, что не имеет никакого значения, как мы обозначим аргумент функции f — через t, x
или как-нибудь иначе). Изучим свойства функции F (x).
Предложение 8. Пусть функция y = f (t) интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда:
1) Функция y = F (x), заданная равенством (46), непрерывна во всех точках x ∈ [a, b].
2) Если функция y = f (t) непрерывна, то функция y = F (x) дифференцируема и
dF (x)
dx
= f(x). (47)
Второе утверждение является точной формулировкой теоремы Ньютона–Лейбница, обсуж-
давшейся выше на с. 2.
Следствие 1. Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция обладает первообразной на этом
отрезке. При этом любая первообразная имеет вид
F (x) =
Z
x
a
f(t) dt + c, (48)
где c — произвольная постоянная.
Следствие 2. Пусть y = F (x) — первообразная функции y = f (x). Тогда
Z
b
a
f(x) dx = F (b) − F (a). (49)
Формула (49) называется о с новной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона–
Лейбница.
Замечание 4. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде
Z
b
a
f(x) dx = F (x)|
b
a
. (50)
                                      ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ                                   15

      2) Функция y = |f (x)| также интегрируема и
                                     Z b            Z b
                                         f (x) dx 6     |f (x)| dx.
                                         a                   a
      3) Если m 6 f (x) 6 M на всём отрезке, то
                                           Z b
                                m(b − a) 6     f (x) dx 6 M (b − a).
                                                 a
     Из первого свойства также вытекает, что если f (x) 6 g(x) и g(x) — интегрируемая функция,
то                                  Z b            Z b
                                        f (x) dx 6     g(x) dx.
                                         a                   a
     Ещё одно свойство мы сформулируем в качестве отдельного утверждения:
   Теорема 9 (теорема о среднем). Пусть функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и m 6
f (x) 6 M . Тогда
                                   Z b
                                       f (x) dx = µ(b − a)
                                             a
для некоторого числа µ, удовлетворяющему неравенствам m 6 µ 6 M .
                                                                          Rb
  Всюду выше мы предполагали, что пределы интегрирования в интеграле a f (x) dx являют-
ся фиксированными (постоянными) числами. Если, однако, один из этих пределов (например,
верхний) изменить, то, вообще говоря, изменится и значение самого интеграла. Таким образом,
определённый интеграл можно понимать как функцию верхнего предела:
                                              Z x
                                      F (x) =     f (t) dt                             (46)
                                                         a
(очевидно, что не имеет никакого значения, как мы обозначим аргумент функции f — через t, x
или как-нибудь иначе). Изучим свойства функции F (x).
     Предложение 8. Пусть функция y = f (t) интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда:
      1) Функция y = F (x), заданная равенством (46), непрерывна во всех точках x ∈ [a, b].
      2) Если функция y = f (t) непрерывна, то функция y = F (x) дифференцируема и
                                     dF (x)
                                            = f (x).                            (47)
                                      dx
  Второе утверждение является точной формулировкой теоремы Ньютона–Лейбница, обсуж-
давшейся выше на с. 2.
  Следствие 1. Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция обладает первообразной на этом
отрезке. При этом любая первообразная имеет вид
                                           Z x
                                   F (x) =     f (t) dt + c,                           (48)
                                                     a
где c — произвольная постоянная.
     Следствие 2. Пусть y = F (x) — первообразная функции y = f (x). Тогда
                                   Z b
                                       f (x) dx = F (b) − F (a).                              (49)
                                         a
  Формула (49) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона–
Лейбница.
     Замечание 4. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде
                                  Z b
                                      f (x) dx = F (x)|ba .                                   (50)
                                             a

Страницы