ВУЗ:
Рубрика:
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 13
и
Z
x
n
e
ax
cos bx dx = x
n
a sin bx + b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
−
nb
a
2
+ b
2
Z
x
n−1
e
ax
sin bx dx−
na
a
2
+ b
2
Z
x
n−1
e
ax
cos bx dx,
т.е.
I
n
= x
n
a sin bx −b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
−
na
a
2
+ b
2
I
n−1
+
nb
a
2
+ b
2
J
n−1
,
J
n
= x
n
a sin bx + b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
−
nb
a
2
+ b
2
I
n−1
−
na
a
2
+ b
2
J
n−1
,
и любой рассматриваемый интеграл можно вычислить, последовательно применяя полученные
равенства.
3. Определённый интеграл
Как уже отмечалось, понятие интеграла возникло как формализация понятия площади. Дадим
точные определения.
Рассмотрим отрезок [a, b] и функцию y = f(x), определённую на этом отрезке
3
. Пусть a = x
0
6
x
1
6 x
2
6 ··· 6 x
n−1
6 x
n
= b — точки этого отрезка. Выбор таких точек называется разбиением
рассматриваемого отрезка. Рассмотрим также произвольные точки ξ
i
∈ [x
i
, x
i+1
], i = 0, 1 . . . , n−1.
Пусть ∆x
i
= x
i+1
− x
i
. Выражение вида
σ =
n−1
X
i=0
f(ξ
i
)∆x
i
(45)
называется интегральной, (или римановой) суммой. Пусть λ = min
i
∆x
i
.
Определение 2. Конечный предел при λ → 0 сумм вида (45), если он существует, называется
определённым интегралом функции y = f (x) на отрезке [a, b] и обозначается через
Z
b
a
f(x) dx.
При этом функция y = f (x) называется интегрир уемой на рассматриваемом отрезке, а числа a
и b — нижним и верхним пределами интегрирования.
Замечание 3. Поясним, как в определении 2 следует понимать, что некоторое число является
пределом интегральных сумм:
I = lim
λ→0
P
n−1
i=0
f(ξ
i
)∆x
i
.
Именно, это означает, что любого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что для любого разбиения, у
которого λ = max
i
∆x
i
< δ, выполняется неравенство
|
n−1
X
i=0
f(ξ
i
)∆x
i
− I| < ε.
Суммы Дарбу. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка [a, b] и положим
m
i
= min
[x
i
,x
i+1
]
f(x), M
i
= max
[x
i
,x
i+1
]
f(x).
Числа
s =
n−1
X
i=0
m
i
∆x
i
, S =
n−1
X
i=0
M
i
∆x
i
называются нижней и верхней суммами Дарбу.
3
Мы будем всегда предполагать, что интегрируемая функция ограничена на рассматриваемом отрезке.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 13
и
a sin bx + b cos bx ax
Z Z Z
n ax nb na
x e cos bx dx = xn 2 2
e − 2 xn−1 ax
e sin bx dx− 2 xn−1 eax cos bx dx,
a +b a + b2 a + b2
т.е.
a sin bx − b cos bx ax na nb
In = xn
2 2
e − 2 2
In−1 + 2 Jn−1 ,
a +b a +b a + b2
a sin bx + b cos bx ax nb na
Jn = xn e − 2 In−1 − 2 Jn−1 ,
a2 + b2 a + b2 a + b2
и любой рассматриваемый интеграл можно вычислить, последовательно применяя полученные
равенства.
3. Определённый интеграл
Как уже отмечалось, понятие интеграла возникло как формализация понятия площади. Дадим
точные определения.
Рассмотрим отрезок [a, b] и функцию y = f (x), определённую на этом отрезке3. Пусть a = x0 6
x1 6 x2 6 · · · 6 xn−1 6 xn = b — точки этого отрезка. Выбор таких точек называется разбиением
рассматриваемого отрезка. Рассмотрим также произвольные точки ξi ∈ [xi , xi+1 ], i = 0, 1 . . . , n−1.
Пусть ∆xi = xi+1 − xi . Выражение вида
n−1
X
σ= f (ξi )∆xi (45)
i=0
называется интегральной, (или римановой) суммой. Пусть λ = min ∆xi .
i
Определение 2. Конечный предел при λ → 0 сумм вида (45), если он существует, называется
определённым интегралом функции y = f (x) на отрезке [a, b] и обозначается через
Z b
f (x) dx.
a
При этом функция y = f (x) называется интегрируемой на рассматриваемом отрезке, а числа a
и b — нижним и верхним пределами интегрирования.
Замечание 3. Поясним, как в определении 2 следует понимать, что некоторое число является
пределом интегральных сумм:
I = lim n−1
P
i=0 f (ξi )∆xi .
λ→0
Именно, это означает, что любого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что для любого разбиения, у
которого λ = max ∆xi < δ, выполняется неравенство
i
n−1
X
| f (ξi )∆xi − I| < ε.
i=0
Суммы Дарбу. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка [a, b] и положим
mi = min f (x), Mi = max f (x).
[xi ,xi+1 ] [xi ,xi+1 ]
Числа
n−1
X n−1
X
s= mi ∆xi , S= Mi ∆xi
i=0 i=0
называются нижней и верхней суммами Дарбу.
3Мы будем всегда предполагать, что интегрируемая функция ограничена на рассматриваемом отрезке.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
