ВУЗ:
Рубрика:
12 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание 2. Описанная замена переменных универсальна, но может приводить к очень гро-
моздким выражениям, которые проинтегрировать нелегко. В некоторых специальных случаях
интегралы вида (43) удаётся вычислить с помощью других замен переменных.
Пример 13. Для вычисления интеграла
Z
sin
2
x cos
3
x dx
можно воспользоваться заменой t = sin x:
Z
sin
2
x cos
3
x dx =
Z
sin
2
x cos
2
x d sin x =
Z
t
2
(1 − t
2
) dt =
t
3
3
−
t
5
5
+ c =
sin
3
x
3
−
sin
5
x
5
+ c.
Пример 14. Рассмотрим интеграл
Z
dx
sin
2
x cos
2
x
и положим t = tg x. Тогда
Z
dx
sin
2
x cos
2
x
=
Z
(1 + tg
2
x) d tg x =
Z
(1 + t
2
) dt = t +
t
3
3
+ c = tg x +
1
3
tg
3
x + c.
Пример 15. Чтобы вычислить интеграл
Z
dx
sin x cos 2x
,
сделаем замену t = cos x. Тогда
Z
dx
sin x cos 2x
=
Z
d cos x
sin
2
x(2 cos
2
x − 1)
=
Z
dt
(1 − t
2
)(1 − 2t
2
)
=
=
1
√
2
ln
1 +
√
2 t
1 −
√
2 t
+
1
2
ln
1 − t
1 + t
+ c =
1
√
2
ln
1 +
√
2 cos x
1 −
√
2 cos x
+
1
2
ln
tg
x
2
+ c.
Другие случаи. Выше мы показали, что интегралы вида
Z
P (x)e
x
dx,
Z
P (x) sin x dx,
Z
P (x) cos x dx,
где P (x) — полином, можно вычислить методом интегрирования по частям. Рассмотрим теперь
интегралы
I
n
=
Z
x
n
e
ax
sin bx dx, J
n
=
Z
x
n
e
ax
cos bx dx.
Начнём со случая n = 0. Интегрируя по частям, получаем
Z
e
ax
sin bx dx =
1
a
Z
sin bx de
ax
=
1
a
e
ax
sin bx − b
Z
e
ax
cos bx dx
и
Z
e
ax
cos bx dx =
1
a
Z
cos bx de
ax
=
1
a
e
ax
cos bx + b
Z
e
ax
sin bx dx
,
т.е.
(
aI
0
+ bJ
0
=
1
a
e
ax
sin bx,
−bI
0
+ aJ
0
=
1
a
e
ax
cos bx.
Отсюда следует, что
I
0
=
a sin bx − b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
, J
0
=
b sin bx + a cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
. (44)
Используя эти равенства, получаем
Z
x
n
e
ax
sin bx dx = x
n
a sin bx − b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
−
na
a
2
+ b
2
Z
x
n−1
e
ax
sin bx dx +
nb
a
2
+ b
2
Z
x
n
e
ax
cos bx dx
12 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание 2. Описанная замена переменных универсальна, но может приводить к очень гро-
моздким выражениям, которые проинтегрировать нелегко. В некоторых специальных случаях
интегралы вида (43) удаётся вычислить с помощью других замен переменных.
Пример 13. Для вычисления интеграла
Z
sin2 x cos3 x dx
можно воспользоваться заменой t = sin x:
t3 t5 sin3 x sin5 x
Z Z Z
sin2 x cos3 x dx = sin2 x cos2 x d sin x = t2 (1 − t2 ) dt = − +c= − + c.
3 5 3 5
Пример 14. Рассмотрим интеграл Z
dx
2
sin x cos2 x
и положим t = tg x. Тогда
t3 1
Z Z Z
dx 2 2
2 = (1 + tg x) d tg x = (1 + t ) dt = t + + c = tg x + tg3 x + c.
sin x cos2 x 3 3
Пример 15. Чтобы вычислить интеграл
Z
dx
,
sin x cos 2x
сделаем замену t = cos x. Тогда
d cos x
Z Z Z
dx dt
= 2 = 2
=
sin x cos 2x 2
sin x(2 cos x − 1) (1 − t )(1 − 2t2 )
√ √
1 1 + 2t 1 1−t 1 1 + 2 cos x 1 x
= √ ln √ + ln + c = √ ln √ + ln tg + c.
2 1 − 2t 2 1+t 2 1 − 2 cos x 2 2
Другие случаи. Выше мы показали, что интегралы вида
Z Z Z
x
P (x)e dx, P (x) sin x dx, P (x) cos x dx,
где P (x) — полином, можно вычислить методом интегрирования по частям. Рассмотрим теперь
интегралы Z Z
n ax
In = x e sin bx dx, Jn = xn eax cos bx dx.
Начнём со случая n = 0. Интегрируя по частям, получаем
1 1 ax
Z Z Z
eax sin bx dx = sin bx deax = e sin bx − b eax cos bx dx
a a
и
1 1 ax
Z Z Z
ax ax ax
e cos bx dx = cos bx de = e cos bx + b e sin bx dx ,
a a
т.е. (
aI0 + bJ0 = a1 eax sin bx,
−bI0 + aJ0 = a1 eax cos bx.
Отсюда следует, что
a sin bx − b cos bx ax b sin bx + a cos bx ax
I0 = 2 2
e , J0 = e . (44)
a +b a2 + b2
Используя эти равенства, получаем
n a sin bx − b cos bx ax
Z Z Z
n ax na n−1 ax nb
x e sin bx dx = x e − 2 x e sin bx dx + 2 xn eax cos bx dx
a2 + b2 a + b2 a + b2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
