ВУЗ:
Рубрика:
10 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 9. Рассмотрим интеграл
Z
dx
4
√
1 + x
4
=
Z
x
0
(1 + x
4
)
−
1
4
dx.
В этом случае
m = 0, n = 4, p = −
1
4
,
m + 1
n
+ p = 0,
т.е. рассмативаемы интеграл относится к третьему случаю теоремы 6. Поэтому положим
t =
4
p
x
−4
+ 1 =
4
√
1 + x
4
x
, x = (t
4
−1)
−
1
4
, dx = −t
3
(t
4
− 1)
−
5
4
dt,
откуда следует, что
Z
dx
4
√
1 + x
4
= −
Z
t
2
dt
t
4
− 1
=
1
4
Z
1
t + 1
−
1
t − 1
dt −
1
2
Z
dt
t
2
+ 1
=
=
1
4
ln
t + 1
t − 1
−
1
2
arctg t + c =
1
4
ln
4
√
x
−4
+ 1 + 1
4
√
x
−4
+ 1 −1
−
1
2
arctg(
4
p
x
−4
+ 1 + 1) + c.
Выражения вида R(x,
√
ax
2
+ bx + c). Этот важный для приложений случай интегрируется
всегда. Для этого используются так называемые подстановки Эйлера.
Теорема 7. Интеграл
Z
R(x,
p
ax
2
+ bx + c) dx, (42)
где R — рациональная функция, всегда может быть вычислен через элементарные функции.
Доказательство. Во-первых, заметим, что можно исключить из рассмотрения случаи, когда a =
0 или когда многочлен, стоящий под радикалом, имеет два одина ковых корня — первый из них
сводится к интегралу (38), а во втором подкоренное выражение является полным квадратом и
мы приходим к интегрированию рациональной функции.
Пусть a > 0. Рассмотрим замену переменных
t =
p
ax
2
+ bx + c +
√
a x.
Тогда
x =
t
2
− c
2
√
a t + b
, dx = 2
√
a t
2
+ bt + c
√
a
(2
√
a t + b)
2
dt,
и после подстановки в подынтегральное выражение мы получим рациональную относительно t
функцию.
Пусть многочлен ax
2
+ bx + c имеет два различных корня — скажем, x
1
и x
2
. Тогда
ax
2
+ bx + c = a(x − x
1
)(x − x
2
),
и мы положим
t =
√
ax
2
+ bx + c
x − x
1
.
Тогда
x =
x
1
t
2
− ax
2
t
2
− a
,
p
ax
2
+ bx + c =
a(x
1
− x
2
)t
t
2
−a
, dx =
2a(x
2
− x
1
)
(t
2
− a)
2
dt,
и после подстановки в подынтегральное выражение мы вновь придём к рациональной функции.
Покажем, что рассмотренными случаями исчерпываются все возможности. Действительно,
ax
2
+ bx + c =
1
a
x −
b
2a
+ c −
b
2
4a
.
Если a < 0 и корней нет, т.е. c−
b
2
4a
> 0, то выражение, стоящее под радикалом строго отрицательно
и не представляет интереса.
10 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 9. Рассмотрим интеграл
Z Z
dx 1
√4
= x0 (1 + x4 )− 4 dx.
1+x 4
В этом случае
1 m+1
m = 0, n = 4, p = − , + p = 0,
4 n
т.е. рассмативаемы интеграл относится к третьему случаю теоремы 6. Поэтому положим
√4
p 1 + x4 1 5
, x = (t4 − 1)− 4 , dx = −t3 (t4 − 1)− 4 dt,
4
t= x +1=−4
x
откуда следует, что
Z 2
1 1 1 1
Z Z Z
dx t dt dt
√ = − 4
= − dt − 2
=
4
1 + x4 t −1 4 t+1 t−1 2 t +1
√
4
1 t+1 1 1 x−4 + 1 + 1 1 p
4
= ln − arctg t + c = ln √ − arctg( x−4 + 1 + 1) + c.
4 t−1 2 4 4
x +1−1
−4 2
√
Выражения вида R(x, ax2 + bx + c). Этот важный для приложений случай интегрируется
всегда. Для этого используются так называемые подстановки Эйлера.
Теорема 7. Интеграл Z p
R(x, ax2 + bx + c) dx, (42)
где R — рациональная функция, всегда может быть вычислен через элементарные функции.
Доказательство. Во-первых, заметим, что можно исключить из рассмотрения случаи, когда a =
0 или когда многочлен, стоящий под радикалом, имеет два одинаковых корня — первый из них
сводится к интегралу (38), а во втором подкоренное выражение является полным квадратом и
мы приходим к интегрированию рациональной функции.
Пусть a > 0. Рассмотрим замену переменных
p √
t = ax2 + bx + c + a x.
Тогда √ 2 √
t2 − c a t + bt + c a
x= √ , dx = 2 √ dt,
2 at + b (2 a t + b)2
и после подстановки в подынтегральное выражение мы получим рациональную относительно t
функцию.
Пусть многочлен ax2 + bx + c имеет два различных корня — скажем, x1 и x2 . Тогда
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
и мы положим √
ax2 + bx + c
t= .
x − x1
Тогда
x1 t2 − ax2 p a(x1 − x2 )t 2a(x2 − x1 )
x= 2
, ax2 + bx + c = 2
, dx = dt,
t −a t −a (t2 − a)2
и после подстановки в подынтегральное выражение мы вновь придём к рациональной функции.
Покажем, что рассмотренными случаями исчерпываются все возможности. Действительно,
1 b b2
ax2 + bx + c = x− +c− .
a 2a 4a
b 2
Если a < 0 и корней нет, т.е. c− 4a > 0, то выражение, стоящее под радикалом строго отрицательно
и не представляет интереса.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
