Интегральное исчисление - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или
2x
2
+ 2x + 13
(x − 2)(x
2
+ 1)
2
=
1
x − 2
−
x + 2
x
2
+ 1
−
3x + 4
(x
2
+ 1)
2
.
Значит,
Z
2x
2
+ 2x + 13
(x − 2)(x
2
+ 1)
2
dx =
1
2
·
3 − 4x
x
2
+ 1
+
1
2
ln
(x − 2)
2
x
2
+ 1
− 4 arctg x + C.
Выражения, содержащие радикалы. Выражения, содержащие радикалы, т.е. корни различ-
ных степеней, в отличие от рациональных дробей, проинтегрировать в элементарных функциях
можно уже не всегда. Есть, однако, некоторые специальные случаи, где интегралы вычисляются.
Радикалы в рациональных дробях. Рассмотрим выражения вида R
x,
m
q
αx+β
γx+δ
, где R —
рациональная функция от двух аргументов, αδ −βγ 6= 0, и замену переменных
t =
m
s
αx + β
γx + δ
. (36)
Тогда
x =
δt
m
− β
α − γt
m
,
dx
dt
=
m(αδ −βγ)t
m−1
(α − γt
m
)
2
. (37)
Значит,
Z
R
x,
m
s
αx + β
γx + δ
dx =
Z
R
δt
m
− β
α − γt
m
, t
·
m(αδ −βγ)t
m−1
(α − γt
m
)
2
dt, (38)
т.е. после сделанной замены переменных подынтегральное вы ражение стало рациональной функ-
цией относительно t. Следовательно, его можно проинтегрировать.
Пример 7. Рассмотрим интеграл
Z
dx
3
p
(x − 1)(x + 1)
2
=
Z
3
r
x + 1
x − 1
·
dx
x + 1
и положим
t =
3
r
x + 1
x − 1
. (39)
Тогда
x =
t
3
+ 1
t
3
− 1
, dx = −
6t
2
(t
3
− 1)
2
.
Поэтому
Z
3
r
x + 1
x − 1
·
dx
x + 1
= −3
Z
dt
t
3
− 1
=
Z
t + 2
t
2
+ t + 1
−
1
t − 1
dt =
√
3 arctg
2t + 1
√
3
+
1
2
ln
t
2
+ t + 1
(t − 1)
2
+ c.
Осталось вместо переменной t подставить её выражение через x (см. равенство (39)).
Биномиальные выражения. Рассмотрим интегралы вида
Z
x
m
(a + bx
n
)
p
dx, (40)
где a и b — постоянные, а m, n и p — рациональные числа (можно считать, что они представлены
несократимыми дробями). Следующий результат принадлежит П.Л. Чебышёву
2
:
2
Пафнутий Львович Чебышёв — русский математик XIX в.
8                                       ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

или
                               2x2 + 2x + 13       1    x+2   3x + 4
                                       2     2
                                               =      − 2   − 2       .
                              (x − 2)(x + 1)     x − 2 x + 1 (x + 1)2
Значит,
                        2x2 + 2x + 13        1 3 − 4x 1 (x − 2)2
                  Z
                                        dx =  ·      + ln 2      − 4 arctg x + C.
                       (x − 2)(x2 + 1)2      2 x2 + 1 2   x +1

Выражения, содержащие радикалы. Выражения, содержащие радикалы, т.е. корни различ-
ных степеней, в отличие от рациональных дробей, проинтегрировать в элементарных функциях
можно уже не всегда. Есть, однако, некоторые специальные случаи, где интегралы вычисляются.
                                                                        q       
Радикалы в рациональных дробях. Рассмотрим выражения вида R x, m αx+β        γx+δ , где R —
рациональная функция от двух аргументов, αδ − βγ 6= 0, и замену переменных
                                            s
                                              αx + β
                                        t= m         .                                  (36)
                                              γx + δ
Тогда
                                       δtm − β     dx   m(αδ − βγ)tm−1
                                  x=           ,      =                .                      (37)
                                       α − γtm     dt     (α − γtm )2
Значит,
                              s                Z  m
                                  αx + β         δt − β  m(αδ − βγ)tm−1
                   Z    
                              m
                       R x,                dx = R         ,t ·             dt,                (38)
                                  γx + δ          α − γtm      (α − γtm )2
т.е. после сделанной замены переменных подынтегральное выражение стало рациональной функ-
цией относительно t. Следовательно, его можно проинтегрировать.
  Пример 7. Рассмотрим интеграл
                                                    Z r
                                                       3 x + 1
                          Z
                                       dx                          dx
                             p                    =            ·
                              3
                                 (x − 1)(x + 1)2         x−1 x+1
и положим                                      r
                                                  x+1
                                           t= 3       .                                       (39)
                                                  x−1
Тогда
                                     t3 + 1                6t2
                                x= 3        ,    dx = − 3        .
                                     t −1               (t − 1)2
Поэтому
Z r
   3 x + 1   dx
                     Z
                         dt
                                  Z 
                                          t+2        1        √          2t + 1 1 t2 + t + 1
           ·    = −3           =                 −        dt =   3  arctg  √ + ln             + c.
     x−1 x+1           t3 − 1          t2 + t + 1 t − 1                      3   2  (t − 1)2
    Осталось вместо переменной t подставить её выражение через x (см. равенство (39)).

Биномиальные выражения. Рассмотрим интегралы вида
                              Z
                                xm (a + bxn )p dx,                                            (40)

где a и b — постоянные, а m, n и p — рациональные числа (можно считать, что они представлены
несократимыми дробями). Следующий результат принадлежит П.Л. Чебышёву2:

    2Пафнутий Львович Чебышёв — русский математик XIX в.

Страницы