ВУЗ:
Рубрика:
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 7
и
Z
A dx
(x − r)
k
= −
A
k − 1
·
1
(x − r)
k−1
+ c. (33)
Чтобы проинтегрировать дроби R
21
и R
2k
, заметим, что
x
2
+ px + q =
x +
p
2
2
+
q −
p
2
4
и положим
a =
r
q −
p
2
4
, x +
p
2
= t. (34)
Тогда
Z
Mx + N
x
2
+ px + q
dx =
Z
Mt + (N −
Mp
2
)
t
2
+ a
2
dt =
M
2
Z
2t dt
t
2
+ a
2
+
N −
Mp
2
Z
dt
t
2
+ a
2
=
=
M
2
ln(t
2
+ a
2
) +
1
a
N −
Mp
2
arctg
t
a
+ c.
Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем
Z
Mx + N
x
2
+ px + q
dx =
M
2
ln(x
2
+ px + q) +
2N − M p
p
4q − p
2
arctg
2x + p
4q − p
2
+ c. (35)
Во втором случае имеем
Z
Mx + N
(x
2
+ px + q)
k
dx =
Z
Mt + (N −
Mp
2
)
(t
2
+ a
2
)
k
dt =
M
2
Z
2t dt
(t
2
+ a
2
)
k
+
N −
Mp
2
Z
dt
(t
2
+ a
2
)
k
.
Но первое слагаемое в правой части есть
−
M
2(k − 1)
·
1
(x
2
+ px + q)
k−1
+ c,
а второе вычисляется по формуле (25) из примера 5.
Таким образом, чтобы проинтегрировать произвольное рациональное выражение, остаётся ре-
шить две задачи:
1) представить знаменатель в виде (29);
2) найти представление (31).
К сожалению, первая из них при m > 4, вообще говоря, не разрешима. Чтобы решить вторую,
пользуются методом неопределённых коэффициентов. Проиллюстрируем этот метод примером.
Пример 6. Разложим дробь
2x
2
+ 2x + 13
(x − 2)(x
2
+ 1)
2
в сумму элементарных. Для этого положим
2x
2
+ 2x + 13
(x − 2)(x
2
+ 1)
2
=
A
x − 2
+
Bx + C
x
2
+ 1
+
Dx + E
(x
2
+ 1)
2
,
где A, B, C, D и E — неизвестные числа. Из этого равенства следует, что
2x
2
+ 2x + 13 = A(x
2
+ 1)
2
+ (Bx + C)(x
2
+ 1)(x − 2) + (Dx + E)(x − 2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x справа и слева, получаем
x
4
A + B = 0,
x
3
−2B + C = 0,
x
2
2A + B − 2C + D = 2,
x
1
−2B + C −2D + E = 2,
x
0
A − 2C −2E = 13.
Решая полученную систему уравнений (например, методом Гаусса), получаем, что
A = 1, B = −1, C = −2, D = −3, E = −4,
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 7
и
1
Z
A dx A
k
=− · + c. (33)
(x − r) k − 1 (x − r)k−1
Чтобы проинтегрировать дроби R21 и R2k , заметим, что
p 2 p2
x2 + px + q = x + + q−
2 4
и положим r
p2 p
a= q− , x + = t. (34)
4 2
Тогда
Mx + N M t + (N − M2p ) 2t dt
Z Z Z Z
M Mp dt
2
dx = 2 2
dt = 2 2
+ N− =
x + px + q t +a 2 t +a 2 t + a2
2
M 1 Mp t
= ln(t2 + a2 ) + N− arctg + c.
2 a 2 a
Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем
Mx + N 2N − M p 2x + p
Z
M
2
dx = ln(x2 + px + q) + p arctg + c. (35)
x + px + q 2 4q − p 2 4q − p2
Во втором случае имеем
Mx + N M t + (N − M2p ) 2t dt
Z Z Z Z
M Mp dt
2
dx = 2 2
dt = 2 2
+ N− .
(x + px + q)k (t + a )k 2 (t + a ) k 2 (t + a2 )k
2
Но первое слагаемое в правой части есть
M 1
− · 2 + c,
2(k − 1) (x + px + q)k−1
а второе вычисляется по формуле (25) из примера 5.
Таким образом, чтобы проинтегрировать произвольное рациональное выражение, остаётся ре-
шить две задачи:
1) представить знаменатель в виде (29);
2) найти представление (31).
К сожалению, первая из них при m > 4, вообще говоря, не разрешима. Чтобы решить вторую,
пользуются методом неопределённых коэффициентов. Проиллюстрируем этот метод примером.
Пример 6. Разложим дробь
2x2 + 2x + 13
(x − 2)(x2 + 1)2
в сумму элементарных. Для этого положим
2x2 + 2x + 13 A Bx + C Dx + E
2 2
= + 2 + 2 ,
(x − 2)(x + 1) x−2 x +1 (x + 1)2
где A, B, C, D и E — неизвестные числа. Из этого равенства следует, что
2x2 + 2x + 13 = A(x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2 + 1)(x − 2) + (Dx + E)(x − 2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x справа и слева, получаем
x4 A + B = 0,
x3 −2B + C = 0,
x2 2A + B − 2C + D = 2,
x1 −2B + C − 2D + E = 2,
x0 A − 2C − 2E = 13.
Решая полученную систему уравнений (например, методом Гаусса), получаем, что
A = 1, B = −1, C = −2, D = −3, E = −4,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
