Интегральное исчисление - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Поскольку R
1
=
1
a
arctg
x
a
, мы, пользуясь равенством (25), можем вычислить R
k
для любого k.
Например,
R
2
=
1
2a
2
·
x
x
2
+ a
2
+
1
2a
2
arctg
x
a
, (26)
R
3
=
1
4a
2
·
x
(x
2
+ a
2
)
2
+
3
8a
4
·
x
x
2
+ a
2
+
3
8a
5
arctg
x
a
(27)
и т.д.
2. Интегрирование некоторых классов функций
Рациональные выражения. К числу выражений, которые можно проинтегрировать в общем
виде, относятся так называемые рациональные функции, которые имеют вид
R(x) =
P
n
(x)
Q
m
(x)
=
a
0
+ a
1
x + ··· + a
n
x
n
b
0
+ b
1
x + ··· + b
m
x
m
, n, m > 0, (28)
т.е. являются отношением двух полиномов.
Во-первых, напомним, что из основной теоремы алгебры вытекает следующий результат: любой
многочлен с действительными коэффициентами однозначно представляется в виде
Q
m
(x) = b
m
(x − r
1
)
n
1
. . . (x − r
k
)
n
k
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
m
1
. . . (x
2
+ p
s
x + q
s
)
m
s
, (29)
где все показатели n
1
, . . . , n
k
, m
1
, . . . , m
s
больше нуля, r
1
, . . . , r
k
— вещественные корни многочле-
на Q
m
(x), а пары коэффициентов p
1
, q
1
, . . . , p
s
, q
s
таковы, что
p
2
i
− 4q
i
< 0, i = 1, . . . , s.
Во-вторых, заметим, что, разделив при необходимости P
n
(x) на Q
m
(x) с остатком и сократив
общие множители в числителе и знаменателе, выражение (29) всегда можно привести к виду
R(x) = S
k
(x) +
T
l
(x)
Q
m
(x)
, (30)
где S
k
(x) и T
l
(x) — также полиномы, а дробь
T
l
(x)
Q
m
(x)
— правильная, т.е. несократима и l < m.
Третий факт, который нам понадобится, формулируется следую щим образом:
Теорема 5. Каждая правильная дробь представима в виде
k
X
i=1
n
j
X
j=1
A
ij
(x − r
j
)
j
+
s
X
i=1
m
j
X
j=1
M
ij
x + N
ij
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
j
, (31)
если известно разложение её знаменателя в виде (29).
Назовём слагаемые в (31) элементарными дробями.
Таким образом, чтобы проинтегрировать рациональное выражение, нужно представить его в
виде (30), а второе слагаемое — в виде (31) и отдельно проинтегрировать полиномиальное слага-
емое (что не представляет труда), а также слагаемые четырёх типов:
R
11
=
A
x − r
, R
1k
=
A
(x − r)
k
,
R
21
=
Mx + N
x
2
+ px + q
, R
2k
=
Mx + N
(x
2
+ px + q)
k
,
где k > 1 d = q −
p
2
4
> 0.
В первых двух случаях имеем
Z
A dx
x − r
= A ln|x − r| + c (32)
6                                           ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

                    1
Поскольку R1 =      a   arctg xa , мы, пользуясь равенством (25), можем вычислить Rk для любого k.
Например,
                                   1        x         1     x
                              R2 =      ·         + 2 arctg ,                                              (26)
                                  2a2       x2
                                           +a   2    2a     a
                                   1          x          3    x     3       x
                              R3 = 2    · 2      2 2
                                                     + 4· 2     2
                                                                  + 5 arctg                                (27)
                                  4a     (x + a )       8a x + a   8a       a
и т.д.


    2. Интегрирование некоторых классов функций
Рациональные выражения. К числу выражений, которые можно проинтегрировать в общем
виде, относятся так называемые рациональные функции, которые имеют вид
                             Pn (x)   a0 + a1 x + · · · + an xn
                          R(x) =    =                           , n, m > 0,             (28)
                             Qm (x)   b0 + b1 x + · · · + bm xm
т.е. являются отношением двух полиномов.
   Во-первых, напомним, что из основной теоремы алгебры вытекает следующий результат: любой
многочлен с действительными коэффициентами однозначно представляется в виде
              Qm (x) = bm (x − r1 )n1 . . . (x − rk )nk (x2 + p1 x + q1 )m1 . . . (x2 + ps x + qs )ms ,    (29)
где все показатели n1 , . . . , nk , m1 , . . . , ms больше нуля, r1 , . . . , rk — вещественные корни многочле-
на Qm (x), а пары коэффициентов p1 , q1 , . . . , ps , qs таковы, что
                                            p2i − 4qi < 0,       i = 1, . . . , s.
  Во-вторых, заметим, что, разделив при необходимости Pn (x) на Qm (x) с остатком и сократив
общие множители в числителе и знаменателе, выражение (29) всегда можно привести к виду
                                                                      Tl (x)
                                                 R(x) = Sk (x) +             ,                             (30)
                                                                      Qm (x)
                                                l (x)
где Sk (x) и Tl (x) — также полиномы, а дробь QTm  (x) — правильная, т.е. несократима и l < m.
  Третий факт, который нам понадобится, формулируется следующим образом:
    Теорема 5. Каждая правильная дробь представима в виде
                                    nj
                                  k X                        s   mj
                                  X            Aij       X X Mij x + Nij
                                                       +                       ,                           (31)
                                            (x − rj )j      (x2 + pj x + qj )j
                                  i=1 j=1                 i=1 j=1

если известно разложение её знаменателя в виде (29).
  Назовём слагаемые в (31) элементарными дробями.
  Таким образом, чтобы проинтегрировать рациональное выражение, нужно представить его в
виде (30), а второе слагаемое — в виде (31) и отдельно проинтегрировать полиномиальное слага-
емое (что не представляет труда), а также слагаемые четырёх типов:
                                A                                                    A
                        R11 =      ,                                      R1k =            ,
                               x−r                                                (x − r)k
                                Mx + N                                               Mx + N
                        R21   = 2         ,                               R2k    = 2            ,
                               x + px + q                                         (x + px + q)k
                     2
где k > 1 d = q − p4 > 0.
  В первых двух случаях имеем
                                              Z
                                                   A dx
                                                        = A ln|x − r| + c                                  (32)
                                                   x−r

Страницы