Интегральное исчисление - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 5
и
C
n
=
Z
x
n
cos x dx =
Z
x
n
d sin x = x
n
sin x − n
Z
x
n−1
sin x dx = x
n
sin x − nS
n−1
,
или
S
n
= nC
n−1
− x
n
cos x, C
n
= x
n
sin x − nS
n−1
. (20)
Таким образом, любой интеграл вида (19) можно вычислить, применив n раз формулу
интегрирования по частям.
Такой же приём используется для интегрирования некоторых других выражений общего
вида. Вот ещё два примера.
4) Рассмотрим интеграл
E
n
=
Z
x
n
e
x
dx. (21)
Тогда
E
n
=
Z
x
n
de
x
= x
n
− nE
n−1
. (22)
5) Пусть
L
n,m
=
Z
x
n
ln
m
x dx. (23)
Тогда
L
n,m
=
1
n + 1
Z
ln
m
x dx
n+1
=
1
n + 1
x
n+1
ln
m
x −
Z
x
n+1
d ln
m
x
=
=
1
n + 1
x
n+1
ln
m
x − m
Z
x
n+1
ln
m−1
x ·
1
x
dx
,
или
L
n,m
=
x
n+1
ln
m
x − mL
n,m−1
n + 1
. (24)
Замечание 1. Очевидно, с помощью тождеств (20), (22) и (24) можно вычислить любые ин-
тегралы вида
Z
P (x) sin x dx,
Z
P (x) cos x dx,
Z
P (x)e
x
dx,
Z
P (x) ln
m
x dx,
где P (x) — произвольный полином.
Рассмотрим ещё один пример.
Пример 5. Рассмотрим интеграл
R
k
=
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
k
, k > 1.
Интегрируя по частям, получаем
x
(x
2
+ a
2
)
k
−
Z
x d
1
(x
2
+ a
2
)
k
=
x
(x
2
+ a
2
)
k
+ 2k
Z
x
2
dx
(x
2
+ a
2
)
k+1
.
С другой стороны,
Z
x
2
dx
(x
2
+ a
2
)
k+1
=
Z
(x
2
+ a
2
) − a
2
(x
2
+ a
2
)
k+1
dx =
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
k
− a
2
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
k+1
= R
k
−a
2
R
k+1
,
и, значит,
R
k+1
=
1
ka
2
·
x
(x
2
+ a
2
)
k
+
2k − 1
2ka
2
R
k
. (25)
                                                  ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ                                                            5

      и
                 Z                       Z                                      Z
                         n                    n                 n
          Cn =       x cos x dx =            x d sin x = x sin x − n                xn−1 sin x dx = xn sin x − nSn−1 ,
      или
                                 Sn = nCn−1 − xn cos x,                    Cn = xn sin x − nSn−1 .                              (20)
      Таким образом, любой интеграл вида (19) можно вычислить, применив n раз формулу
      интегрирования по частям.
        Такой же приём используется для интегрирования некоторых других выражений общего
      вида. Вот ещё два примера.
   4) Рассмотрим интеграл
                                           Z
                                     En = xn ex dx.                                  (21)

      Тогда                                             Z
                                               En =         xn dex = xn − nEn−1 .                                               (22)

   5) Пусть
                                                                  Z
                                                    Ln,m =              xn lnm x dx.                                            (23)

      Тогда
                                                                                             
            1                               1
                     Z                                                      Z
                             m     n+1                    n+1       m           n+1       m
  Ln,m   =               ln x dx         =              x       ln x −          x       d ln x =
           n+1                             n+1
                                                                                                                               
                                                                         1                                                   1
                                                                                                     Z
                                                                                    n+1      m           n+1        m−1
                                                                      =             x     ln x − m       x     ln         x · dx ,
                                                                        n+1                                                  x
      или
                                                            xn+1 lnm x − mLn,m−1
                                              Ln,m =                             .                                              (24)
                                                                    n+1
  Замечание 1. Очевидно, с помощью тождеств (20), (22) и (24) можно вычислить любые ин-
тегралы вида
             Z                 Z                 Z            Z
                                                         x
               P (x) sin x dx,   P (x) cos x dx,   P (x)e dx,   P (x) lnm x dx,

где P (x) — произвольный полином.
  Рассмотрим ещё один пример.
  Пример 5. Рассмотрим интеграл
                                                      Z
                                                                  dx
                                              Rk =                        ,         k > 1.
                                                            (x2   + a2 )k
Интегрируя по частям, получаем
                                        1                                  x2 dx
                             Z                                       Z
                   x                                  x
                           −   x d                =             + 2k                 .
               (x2 + a2 )k          (x2 + a2 )k     (x2 + a2 )k        (x2 + a2 )k+1
С другой стороны,
           x2 dx         (x2 + a2 ) − a2
     Z                 Z                      Z                   Z
                                                    dx          2        dx
                     =                   dx =                − a                  = Rk − a2 Rk+1 ,
       (x2 + a2 )k+1      (x2 + a2 )k+1         (x2 + a2 )k         (x2 + a2 )k+1
и, значит,
                                          1      x          2k − 1
                               Rk+1 = 2 · 2         2
                                                        +          Rk .                            (25)
                                         ka (x + a )  k      2ka2

Страницы