ВУЗ:
Рубрика:
4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3) Ещё один пример:
Z
ctg x dx =
Z
cos x dx
sin x
=
Z
d sin x
sin x
= ln|sin x| + c.
4) Вычислим
R
dx
√
x
2
+a
2
. Положим t =
√
x
2
+ a
2
+ x. Тогда
x =
t
2
− a
2t
,
p
x
2
+ a
2
=
t
2
+ a
2t
, dx =
t
2
+ a
2t
dt.
Поэтому
Z
dx
√
x
2
+ a
2
=
Z
dt
t
= ln|t| + c = ln|x +
p
x
2
+ a
2
| + c.
Теорема 4 (интегрирование по частям). Для любых дифференцируемых функций f (x) и g(x)
имеют место равенства
Z
f(x)g
′
(x) dx = f (x)g(x) −
Z
g(x)f
′
(x) dx, (15)
или
Z
f(x) dg(x) = f (x)g(x) −
Z
g(x) df(x). (16)
Равенство (15) (или (16), что то же самое) называется правилом интегрирования по частям.
Пример 4. Проиллюстрируем на примерах, как правило интегрирования по частям может ис-
пользоваться при вычислении интегралов.
1) Вычислим
R
ln x dx:
Z
ln x dx = x ln x −
Z
x d ln x = x ln x −
Z
dx = x(ln x − 1) + c.
2) Вычислим
R
arctg x dx:
Z
arctg x dx = x arctg x −
Z
x d arctg x = x arctg x −
Z
x dx
x
2
+ 1
=
= x arctg x −
1
2
Z
dx
2
x
2
+ 1
= x arctg x −
1
2
ln(x
2
+ 1) + c.
Аналогичным образом вычисляются
R
arcsin x dx и
R
arccos x dx.
3) Пусть требуется вычислить
R
x cos x dx. Имеем
Z
x cos x dx =
Z
x d sin x = x sin x −
Z
sin x dx = x sin x + cos x + c. (17)
Аналогично
Z
x sin x dx = −
Z
x d cos x = −x cos x +
Z
cos x dx = −x cos x + sin x + c. (18)
Похожим образом вычисляется интеграл
R
x
2
cos x dx:
Z
x
2
cos x dx =
Z
x
2
d sin x = x
2
sin x −
Z
sin x dx
2
= x
2
sin x − 2
Z
x sin x dx.
Но последнее слагаемое уже вычислено в (18). Точно также вычисление
R
x
2
sin x dx сво-
дится интегрированием по частям к (17).
Рассмотрим интегралы
S
n
=
Z
x
n
sin x dx, C
n
=
Z
x
n
cos x dx. (19)
Тогда
S
n
=
Z
x
n
sin x dx = −
Z
x
n
d cos x = −x
n
cos x + n
Z
x
n−1
cos x dx = nC
n−1
− x
n
cos x
4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3) Ещё один пример:
cos x dx d sin x
Z Z Z
ctg x dx = = = ln|sin x| + c.
sin x sin x
√
4) Вычислим √xdx
R
2 +a2
. Положим t = x2 + a2 + x. Тогда
t2 − a p t2 + a t2 + a
x= , x2 + a2 = , dx = dt.
2t 2t 2t
Поэтому Z Z
dx dt p
√ = = ln|t| + c = ln|x + x2 + a2 | + c.
x + a2
2 t
Теорема 4 (интегрирование по частям). Для любых дифференцируемых функций f (x) и g(x)
имеют место равенства
Z Z
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − g(x)f ′ (x) dx,
′
(15)
или Z Z
f (x) dg(x) = f (x)g(x) − g(x) df (x). (16)
Равенство (15) (или (16), что то же самое) называется правилом интегрирования по частям.
Пример 4. Проиллюстрируем на примерах, как правило интегрирования по частям может ис-
пользоваться при вычислении интегралов.
R
1) Вычислим ln x dx:
Z Z Z
ln x dx = x ln x − x d ln x = x ln x − dx = x(ln x − 1) + c.
R
2) Вычислим arctg x dx:
Z Z Z
x dx
arctg x dx = x arctg x − x d arctg x = x arctg x − =
x2 + 1
1 dx2 1
Z
= x arctg x − 2
= x arctg x − ln(x2 + 1) + c.
2 x +1 2
R R
Аналогичным образом вычисляютсяR arcsin x dx и arccos x dx.
3) Пусть требуется вычислить x cos x dx. Имеем
Z Z Z
x cos x dx = x d sin x = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + c. (17)
Аналогично
Z Z Z
x sin x dx = − x d cos x = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + c. (18)
Похожим образом вычисляется интеграл x2 cos x dx:
R
Z Z Z Z
2 2 2 2 2
x cos x dx = x d sin x = x sin x − sin x dx = x sin x − 2 x sin x dx.
Но последнее слагаемое уже вычислено в (18). Точно также вычисление x2 sin x dx сво-
R
дится интегрированием по частям к (17).
Рассмотрим интегралы
Z Z
n
Sn = x sin x dx, Cn = xn cos x dx. (19)
Тогда
Z Z Z
Sn = x sin x dx = − x d cos x = −x cos x + n xn−1 cos x dx = nCn−1 − xn cos x
n n n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
