ВУЗ:
Рубрика:
2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или
m 6
∆F (x)
∆x
6 M.
Устремим ∆x к нулю. Тогда
lim
∆x→0
m = lim
∆x→0
M = f(x), lim
∆x→0
∆F (x)
∆x
= F
′
(x).
Таким образом, справедлива
Теорема 2 (теорема Ньютона–Лейбница). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной функции y = f (x), как функция левого конца основания является перво-
образной для f (x).
Как вычислять неопределённые интегралы? Вообще говоря, эта задача может быть сколь угод-
но сложной, а иногда и неразрешимой в том смысле, что ответ нельзя записать, используя эле-
ментарные функции.
Пример 1. К интегралам, вычисление которых нельзя свести к элементарным функциям, от-
носятся, например, такие
Z
e
−x
2
dx,
Z
sin x
2
dx,
Z
dx
ln x
.
Практические приёмы интегрирования основываются на табличных интегралах и некоторых
свойствах неопределённого интеграла, которые мы изучим ниже.
Табличные интегралы. Из определения первообразной и известных производных элементар-
ных функций следует, что
Z
0 dx = c, (1)
Z
1 dx = x + c, (2)
Z
x
µ
dx =
x
µ+1
µ + 1
+ c, (3)
Z
1
x
dx =
Z
dx
x
= ln|x| + c, (4)
Z
1
1 + x
2
dx =
Z
dx
1 + x
2
= arctg x + c, (5)
Z
1
√
1 − x
2
dx =
Z
dx
√
1 − x
2
= arcsin x + c, (6)
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ c, (7)
в частности,
Z
e
x
dx = e
x
+ c, (8)
Z
sin x dx = −cos x + c, (9)
Z
cos x dx = sin x + c, (10)
Z
1
sin
2
x
dx =
Z
dx
sin
2
x
= −ctg x + c, (11)
Z
1
cos
2
x
dx =
Z
dx
cos
2
x
= tg x + c. (12)
2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или
∆F (x)
m6 6 M.
∆x
Устремим ∆x к нулю. Тогда
∆F (x)
lim m = lim M = f (x), lim = F ′ (x).
∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x
Таким образом, справедлива
Теорема 2 (теорема Ньютона–Лейбница). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной функции y = f (x), как функция левого конца основания является перво-
образной для f (x).
Как вычислять неопределённые интегралы? Вообще говоря, эта задача может быть сколь угод-
но сложной, а иногда и неразрешимой в том смысле, что ответ нельзя записать, используя эле-
ментарные функции.
Пример 1. К интегралам, вычисление которых нельзя свести к элементарным функциям, от-
носятся, например, такие Z Z Z
−x2 2 dx
e dx, sin x dx, .
ln x
Практические приёмы интегрирования основываются на табличных интегралах и некоторых
свойствах неопределённого интеграла, которые мы изучим ниже.
Табличные интегралы. Из определения первообразной и известных производных элементар-
ных функций следует, что
Z
0 dx = c, (1)
Z
1 dx = x + c, (2)
xµ+1
Z
xµ dx = + c, (3)
µ+1
1
Z Z
dx
dx = = ln|x| + c, (4)
x x
1
Z Z
dx
2
dx = = arctg x + c, (5)
1+x 1 + x2
1
Z Z
dx
√ dx = √ = arcsin x + c, (6)
1 − x 2 1 − x2
ax
Z
ax dx = + c, (7)
ln a
в частности,
Z
ex dx = ex + c, (8)
Z
sin x dx = − cos x + c, (9)
Z
cos x dx = sin x + c, (10)
1
Z Z
dx
2 dx = = − ctg x + c, (11)
sin x sin2 x
1
Z Z
dx
2
dx = = tg x + c. (12)
cos x cos2 x
